Elimine o módulo.

|2x-1| + |x-2|

Passo 1

Temos pela definição que:

x = x       s e       x ≥ 0 - x       s e       x < 0

Basicamente isso fala que para todo x , x ≥ 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para 2 x - 1 temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 2 e assume valores positivos quando x > 1 2 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 2

Vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos analisar os três casos, com x ≤ 1 2 , 1 2 < x < 2 e x ≥ 2 .

Com x ≤ 1 2 temos que 2 x - 1 ≤ 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

2 x - 1 + x - 2 = - 2 x - 1 + - x - 2 = - 2 x + 1 + - x + 2 = - 2 x + 1 - x + 2 = - 3 x + 3

Passo 3

Com 1 2 < x < 2 temos que 2 x - 1 > 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

2 x - 1 + x - 2 = 2 x - 1 + - x - 2 = 2 x - 1 + - x + 2 = 2 x - 1 - x + 2 = x + 1

Passo 4

Por último, com x ≥ 2 temos que 2 x - 1 > 0 e x - 2 ≥ 0 , assim a expressão é equivalente a:

2 x - 1 + x - 2 = 2 x - 1 + x - 2 = 2 x - 1 + x - 2 = 3 x - 3

Juntando então temos que:

2 x - 1 + x - 2 = - 3 x + 3     s e     x ≤ 1 2 x + 1     s e   1 2 < x < 2 3 x - 3     s e     x ≥ 2

Resposta

2 x - 1 + x - 2 = - 3 x + 3     s e     x ≤ 1 2 x + 1     s e   1 2 < x < 2 3 x - 3     s e     x ≥ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados