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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.3 - Ex. 5b

Elimine o módulo.

|x - 2| - |x + 1|

Passo 1

Temos pela definição que:

|x| = {[[x s e x >= 0],[- x s e x < 0]])

Basicamente isso fala que para todo x , |x| >= 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Passo 2

Vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos analisar os três casos, com x <= - 1 , - 1 < x < 2 e x >= 2 .

Com x <= - 1 temos que x - 2 < 0 e x + 1 <= 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x - 2| - |x + 1| = - (x - 2) - (- (x + 1)) = - x + 2 - (- x - 1) = - x + 2 + x + 1 = 3

Passo 3

Com - 1 < x < 2 temos que x - 2 < 0 e x + 1 > 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x - 2| - |x + 1| = - (x - 2) - (x + 1) = - x + 2 - x - 1 = - 2 x + 1

Passo 4

Por último, com x >= 2 temos que x - 2 >= 0 e x + 1 > 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x - 2| - |x + 1| = x - 2 - (x + 1) = x - 2 - x - 1 = - 3

Juntando então temos que:

|x - 2| - |x + 1| = {[[3 s e x <= - 1],[- 2 x + 1 s e - 1 < x < 2],[- 3 s e x >= 2]])

Resposta

|x - 2| - |x + 1| = {[[3 s e x <= - 1],[- 2 x + 1 s e - 1 < x < 2],[- 3 s e x >= 2]])

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