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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 26

x , y é um ponto do plano cuja soma das distâncias a - 1,0 e 1,0 é igual a 4 .

  1. Verifique que x 2 4 + y 2 3 = 1
  2. Supondo y ≥ 0 , expresse y em função de x e esboce o gráfico da função obtida.

Passo 1

  1. Vamos calcular as distâncias do ponto x , y aos pontos - 1,0 e 1,0 e igualar a 4 :

    2. Temos que a fórmula da distânia entre dois pontos é:

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2

    A distância entre o ponto x , y e o ponto - 1 , 0 vai ser:

    x 1 = x e y 1 = y

    x 0 = - 1 e y 0 = 0

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = x - - 1 2 + y - 0 2 = x + 1 2 + y 2 = x + 1 2 + y 2

    Passo 2

    Agora a distância entre o ponto x , y e o ponto 1,0 vai ser:

    x 1 = x e y 1 = y

    x 0 = 1 e y 0 = 0

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = x - 1 2 + y - 0 2 = x - 1 2 + y 2 = x - 1 2 + y 2

    Passo 3

    Substituindo ficamos com:

    x + 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2 = 4

    Agora vamos manipular um pouco essa expressão:

    x + 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2 = 4 ↔ x + 1 2 + y 2 = 4 - x - 1 2 + y 2

    Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado:

    x + 1 2 + y 2 = 4 - x - 1 2 + y 2 ↔ x + 1 2 + y 2 2 = 4 - x - 1 2 + y 2 2 ↔ x + 1 2 + y 2 = 16 - 8 x - 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2

    Agora vamos tentar simplificar a equação:

    x + 1 2 + y 2 = 16 - 8 x - 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2 ↔ x 2 + 2 x + 1 = 16 - 8 x - 1 2 + y 2 + x 2 - 2 x + 1 ↔ 2 x + 2 x = 16 - 8 x - 1 2 + y 2 ↔ 4 x - 16 = - 8 x - 1 2 + y 2 ↔ - x + 4 = 2 x - 1 2 + y 2

    Vamos elevar novamente ao quadrado:

    - x + 4 = 2 x - 1 2 + y 2 ↔ - x + 4 2 = 2 x - 1 2 + y 2 2 ↔ x 2 - 8 x + 16 = 4 x - 1 2 + y 2 ↔ x 2 - 8 x + 16 = 4 x 2 - 2 x + 1 + y 2 ↔ x 2 - 8 x + 16 = 4 x 2 - 8 x + 4 + 4 y 2 ↔ x 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4 - 16 ↔ - 3 x 2 - 4 y 2 = - 1 2 ↔ 3 x 2 + 4 y 2 = 12 ↔ 3 x 2 + 4 y 2 12 = 12 12 ↔ 3 x 2 12 + 4 y 2 12 = 1 ↔ x 2 4 + y 2 3 = 1

    E pronto, achamos o que queríamos.

    Passo 4

  2. Para expressar y em função de x é só isolar o y :

x 2 4 + y 2 3 = 1 ↔ y 2 3 = 1 - x 2 4 ↔ y 2 = 3 1 - x 2 4 ↔ y 2 = 3 - 3 x 2 4 ↔ y = ± 3 - 3 x 2 4

Como queremos y ≥ 0 , vamos pegar apenas a parte positiva:

y = 3 - 3 x 2 4

Esboçando o gráfico vamos obter:

Resposta

b) y = 3 - 3 x 2 4

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Simplifique f x - f ( p ) x - p( x ≠ p ) sendo dados: n ) f x = 1 x 2 ,ep = 3
Ache as equações das retas que passam pela origem e são tangentes a circunferência com centro (2,1) e raio 2.
Ache uma equação da reta que passa por (2,5) e faz com a reta 3x - 4y + 7 = 0 um ângulo cuja medida em radianos é π 4 .
Ache, com a aproximação de 1 grau, as medidas dos quatro ângulos internos do quadrilátero com vértices em (5,6), (-2,4), (-2,1) e (3,1) e verifique que a soma deles é 360°.
Prove que se x dor qualquer número real, xx ² + 1 ² .