a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.

b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = se n^2 θ, y = cos^2(θ)

Passo 1

Oii!!! Bom... O problema fornece um curva na forma parametrizada e pede para encontrarmos uma equação cartesiana que relacione x e y .

Neste caso, temos

x = s e n 2 θ

E

y = cos 2 ⁡ θ

Para isso, podemos relacionar as equações que o enunciado nos deu com alguma relação trigonométrica que já conhecemos, como, por exemplo:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Em seguida, depois que descobrirmos a expressão que queremos, basta esboçarmos e analisarmos o que acontece com x e y quando alteramos o valor de θ .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Assim, da relação fundamental da trigonometria, temos:

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 ∴

y + x = 1

Portanto, isolando y :

y = 1 - x

Veja que essa equação trata-se de uma reta, mas você deve tomar um cuidado: não é a reta toda! Sabemos que 0 ≤ s e n 2 θ ≤ 1 . Assim,

0 ≤ x ≤ 1

A curva é o pedaço da reta y = 1 - x com x entre 0 e 1 .

Passo 3

Fazendo um esboço da curva, temos:

Agora vamos aplicar alguns valores de θ e observar os valores de x e y :

Perceba que, conforme θ aumenta, como as funções trigonométricas são periódicas, os pontos vão indo e voltando na reta!

Com isso, o crescimento em relação ao parâmetro θ fica da seguinte forma:

Resposta

y = 1 - x ,               0 ≤ x ≤ 1

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