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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 11

Resolva a equação diferencial.

(d y)/(d x) + 2 x y = x^2

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

y^' + 2 x y = x^2

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y^' + P (x) y = Q (x) ,

com

P (x) = 2 x e Q (x) = x^2

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e^(int P (x) d x)

Calculando a integral:

int P (x) d x = int 2 x d x = x^2

Assim,

I = e^(x^2)

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y^' e^(x^2) + 2 x e^(x^2) y = x^2 e^(x^2)

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y^' e^(x^2) + 2 x e^(x^2) y = (y e^(x^2))^'

Logo,

(d)/(d x) (y e^(x^2)) = x^2 e^(x^2)

Integrando, obtemos

y e^(x^2) = int x^2 e^(x^2) d x

Essa integral não pode ser escrita em termos de funções elementares, então deixaremos a solução em função dela. Adicionando a constante de integração e isolando y :

y = (1)/(e^(x^2)) int x^2 e^(x^2) d x + (C)/(e^(x^2))

Logo,

y = e^(- x^2) int x^2 e^(x^2) d x + C e^(x^2)

Essa é a solução!

Resposta

y = e^(- x^2) int x^2 e^(x^2) d x + C e^(x^2)

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