Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
Gerentes de lojas querem uma política de estoque ótima. Excesso de estoque resulta em armazenagem excessiva e custos de estoque, enquanto que um estoque pequeno significa adicionar custo à reorganização e entrega.
Um gerente de um supermercado estima que um total de 800 pacotes de sopa serão vendidos a uma taxa constante durante o próximo ano e o custo de estoque será de para armazenar um pacote por ano. Se o gerente fizer vários pedidos por ano, cada um consistindo de pacotes, então ele terá uma média de pacotes em estoque no ano e assim os custos de armazenagem para o ano são dólares. Ele também estima que o custo de manuseio para cada entrega é de .
Qual é a quantidade ótima a ser feita em cada pedido de tal forma a minimizar o custo total?
Passo 1
Fala, galera!
Não se assustem com o tamanho do enunciado. Vamos olhar ele com calma e transformar as informações em algo mais amigável, beleza?
O problema é o seguinte: Um supermercado vai vender 800 pacotes de sopa ao longo do ano. Seu gerente está preocupado com os custos, tanto de armazenagem quanto de transporte dos pedidos.
Sendo assim, precisamos descobrir qual a quantidade de pacotes por pedido que minimiza o custo total anual (custo de armazenagem + custo de transporte). Isto é, precisamos encontrar o ponto de mínimo da função custo .
Viu, já demos uma simplificada, né? Agora, precisamos entender quais são as informações que já temos.
- Total de pacotes de sopa vendidos por ano: .
- Custo de armazenagem por pacote: .
- Custo de transporte por pedido:
- Custo de armazenagem anual: dólares.
Além disso, como em cada pedido são solicitados pacotes, e pacotes são vendidos por ano, então o número de pedidos por ano é de .
Para facilitar o nosso trabalho, vamos resolver essa questão por partes:
- Encontrar uma função de custo anual total a partir da soma dos custos de armazenagem e transporte.
- Derivar essa função para encontrar os seus pontos críticos, ou seja, resolver a equação
- Verificar se o ponto crítico encontrado é realmente um ponto de mínimo.
Bora colocar a mão na massa?😊
Passo 2
Como já vimos no passo anterior, o custo total anual é composto de duas partes: custo de armazenagem e de transporte. Mas vimos que:
Porém, são realizados pedidos por ano. Dessa forma, o custo de transporte é dado por:
Com isso, o custo total anual é dado por:
Passo 3
Para minimizar a função
vamos começar encontrando os seus pontos críticos a partir da sua derivada.
Bem, como a função é um polinômio, vamos derivá-la utilizando a Regra da Soma e, para cada um dos seus termos, vamos utilizar Regra da Potência.
Relembrando a Regra da Potência:
Assim,
Derivando cada um dos termos:
Pronto, encontramos a derivada da função custo. Agora vamos encontrar o seu ponto crítico. Fazendo vamos ter:
ou seja,
Tomando a raiz quadrada de , vamos ter que o ponto crítico é dado por
Note que também é um ponto crítico da função , mas um valor negativo para a quantidade de pacotes não possui significado físico no problema em questão.
Passo 4
Para checarmos se esse é um ponto de mínimo da função, encontramos a segunda derivada da função (usando as Regras da Soma e da Potência de novo):
e verificamos se ela é positiva no ponto crítico .
Como
pois ambos os termos da fração são positivos, então é um ponto de mínimo.
Além disso, também podemos descobrir a quantidade de pedidos que será feita ao ano, se considerarmos sempre pacotes por pedido. Bem, como vimos que são realizados pedidos por ano, então serão realizados
Resposta
A quantidade ótima de pacotes de sopa a ser solicitada em cada pedido, de forma a minimizar o custo total anual do supermercado, é de pacotes de sopa.