Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 12
Para a função custo e demanda dada, encontre o nível de produção que maximizará o lucro.
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade de otimização.
Aqui iremos utilizar nosso conhecimentos financeiros e de derivadas para encontrarmos o que se pede.
A função lucro é dada pela diferença entre a receita total e o lucro total:
Para se encontrar o máximo ou mínimo de uma função devemos deriva-la e igualar a derivada a zero, os pontos que encontrarmos, se encontrarmos, são os pontos de máxima ou de mínimo da função.
Nessa questão queremos encontrar a quantidade de itens produzidos que irá maximizar o lucro.
Temos então:
Isso significa que a receita marginal e o custo marginal devem ser iguais. Para que o ponto seja de fato um máximo, sabemos que devemos ter também uma concavidade para baixo, ou seja, a segunda derivada do lucro deve ser negativa. Então:
Satisfazendo então essas duas condições, teremos o lucro maximizado.
Passo 2
O enunciado nos dá a função custo total e o preço por item .
A receita total é o preço por item vezes a quantidade vendida:
Para cumprir a primeira condição, derivamos então e e igualamos:
Agora igualando os dois:
Essa é a quantidade de itens que maximiza (ou minimiza, não sabemos ainda) o lucro.
Passo 3
Devemos cumprir a segunda condição para que esse seja de fato o lucro máximo. Derivando novamente as duas funções:
Podemos ver que temos de fato:
Então maximiza o lucro.