Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma taxa contínua , onde é o tempo medido em meses desde seu ultimo recondicionamento. Como a cada vez mais a máquina é recondicionada incorre-se em um custo fixo , a empresa deseja determinar o tempo ótimo (em meses), entre os recondicionamentos.

a) Explique por que representa a perda de valor da máquina sobre o período de tempo desde o ultimo recondicionamento.

b) Seja dado por

O que representa e porque a empresa quer minimizar ?

c) Mostre que tem um valor mínimo nos números onde .

a) Seja

Então, pelo Teorema fundamental do calculo

Se representa a taxa de depreciação., então representa a perda de valor no intervalo

b) Podemos reescrever a função da seguinte forma:

Assim, a integral pode ser dada por:

Então:

E isso representa a despesa média, ou custo, por unidade de durante o intervalo , assumindo que houve apenas uma revisão durante esse período de tempo. A empresa quer minimizar o gasto médio.

Para encontrarmos um mínimo, basta derivarmos a função e igualarmos a zero, assim acharemos o ponto mínimo de custo.

Usando as informações já obtidas na parte (a), podemos derivar da seguinte forma

E usando a regra do quociente, teremos:

Agora, igualando a zero

Como o denominador nunca pode ser igual a zero, podemo dizer que:

Assim,

E isolando

O que nos dá exatamente:

E podemos concluir que:

Prontinho!