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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 59

Ache a derivada da função.

g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

Passo 1

Oie, beleza 😁?

Precisamos encontrar a derivada da função

g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

que é dada como sendo uma integral de uma outra função. Para facilitar o entendimento, vamos chamar a função y de h ( x ) , beleza?

Pra resolver a questão, vamos utilizar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Ela diz que se

g x =   ∫ a x f u d u ,

então g ' x = f x . Isto é, sempre que uma função g é obtida integrando uma função f , então a derivada da função g é a função f !

⚠️Mas precisamos tomar cuidado! Perceba que isso não é exatamente o que temos na função h , pois temos uma diferença nos limites de integração.

No caso do teorema, o limite superior é x e o inferior é constante, enquanto que no caso da função do exercício, o limite superior é 3 x e o inferior é 2 x .

Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando, beleza?

🛠️ Mas antes disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Regra da Cadeia: sejam f e g funções deriváveis, então

    • f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

  • Para integrais definidas em um intervalo [ a ,   b ] , vale que:

∫ a b g u d u = ∫ a c g u d u + ∫ c b g u d u .

e

∫ a b g u d u = - ∫ b a g u d u .

Com essas informações, vamos ver como resolvemos a questão?

Passo 2

Definindo a função

f x =   ∫ 0 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

e usando a Parte 1 de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada f ' é dada por

f ' x = x 2 - 1 x 2 + 1 ,

certo?

Agora, se liga: se avaliarmos a função f em 2 x e em 3 x , então temos que

f 2 x =   ∫ 0 2 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

e

f 3 x =   ∫ 0 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u .

🤔 Mas como isso pode ajudar a gente?

Bem, como visto no Passo 1 , valem as seguintes igualdades:

∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u =   ∫ 2 x 0 u 2 - 1 u 2 + 1 d u +   ∫ 0 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

e

∫ 2 x 0 u 2 - 1 u 2 + 1 d u =   - ∫ 0 2 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u ,

ou seja,

∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u =   - ∫ 0 2 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u +   ∫ 0 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u .

Dessa forma, vamos ter que

g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u =   - f 2 x + f ( 3 x )

e calcular a derivada

g ' x = - f 2 x + f ( 3 x ) '

é a mesma coisa do que fazer (aqui usamos a Regra da Cadeia)

g ' x = - f ' 2 x 2 x ' + f ' ( 3 x ) ( 3 x ) ' .

Beleza, no próximo passo, vamos calcular essas derivadas e obter g ' .

Passo 3

Como vimos no Passo anterior, a derivada de f é

f ' x = x 2 - 1 x 2 + 1

e temos também que a derivada de 2 x e de 3 x , são

2 x ' = 2       e       3 x ' = 3 .

Então, como no Passo anterior encontramos que

g ' x = - f ' 2 x 2 x ' + f ' 3 x 3 x ' ,

substituindo as derivadas temos que

g ' x = - 2 2 x 2 - 1 2 x 2 + 1 + 3 3 x 2 - 1 3 x 2 + 1 .

Ajustando os termos, temos que a função g ' procurada é dada por:

g ' x = - 8 x 2 - 2 4 x 2 + 1 + 27 x 2 - 3 9 x 2 + 1 .

Resposta

A derivada da função

g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

é

g ' x = - 8 x 2 - 2 4 x 2 + 1 + 27 x 2 - 3 9 x 2 + 1 .

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