Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.

∬ R 2   d A ,       R = { ( x , y ) | 2 ≤ x ≤ 6 ;   - 1 ≤ y ≤ 5 }

Passo 1

Eaiii pessoal, tudo bem com vocês?

Bom, vamos começar entendendo o enunciado, beleza?

Precisamos calcular a integral dupla definida na região R , identificando como um volume de um sólido.

Como fazer isso?Vamos interpretar essa integral como o volume que está abaixo do plano z = 2 e acima do retângulo 2,6 × [ - 1,5 ] .

Logo, para calcular o volume multiplicamos base vezes largura vezes altura. Agora, é só você identificar essas coordenadas, e para isso é interessante fazer um esboço das regiões, pois vai ajudar.

Seu gráfico vai ficar com essa cara, onde a região R está representada pela retângulo de coordenas A B C D , e o plano z pelo retângulo de coordenadas H I J K . Agora ficou fácil calcular o volume né!?

Partiu fazer esses passos! Bora lá!!!

Passo 2

Galera, primeiro vamos esboçar nossas regiões.

Sabemos que, R é um retângulo no plano x y e z = 2 é um plano.

R = 2 ≤ x ≤ 6 ;   - 1 ≤ y ≤ 5

z = 2

Observe o gráfico:

  • Temos o retângulo ABCD nos intervalos de 2 ≤ x ≤ 6 e - 1 ≤ y ≤ 5 ;
  • E o plano z = 2 sobre ele;

Passo 3

Sabendo disso, vamos calcular o volume entre eles agora.

A área do retângulo é:

A = b a s e × l a r g u r a  

A b a s e é x , e mede 4 .

A l a r g u r a é y, e mede 6.

Logo, nossa área fica:

A = 4 × 6 = 24  

A altura é a distância no eixo z , ou seja, do ponto zero até o plano z = 2 .

Então, a altura em z é 2 .

Assim, integral pode ser calculada:

∬ R 2   d A = V

V = A × a l t u r a  

Logo,

∬ R 2   d A = V

∬ R 2   d A = 24 2

Prontinho!

Resposta

24 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados