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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 28

Sejam u → = 1 ,   1 ,   1 B e v → = 0 ,   1 ,   2 B . Obtenha uma base ortonormal positiva a → ,   b → ,   c → tal que

1.   a → e u → sejam de mesmo sentido;

2. b → seja combinação linear de u → e v → ;

3. a primeira coordenada de b → seja positiva.

Passo 1

Fala ai meu querido, para resolver essa questão vamos ter que descobrir 3 vetores, seguindo 3 condições que o exercício impôs para gente. Vambora então!

Passo 2

Vamos começar descobrindo a → que é o mais simples, já que ele possui a mesma direção que u → .  

Basta normalizar u → para encontrarmos a → . Calculando a norma de u → :

u → = 3

Portanto, para achar a → , basta dividir cada componente de u → por 3 :

a → = 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 2

Pelo que ele diz em 2, b → é combinação linear de u → e v → , então podemos escrever:

b → = x u → + y v → = ( x ,   x + y ,   x + 2 y )

Como ele deve ser ortogonal a a → , ele também deve ser ortogonal a u → , então fazendo o produto interno desses dois vetores ser igual a 0 (para que eles sejam ortogonais), encontramos:

x ,   x + y ,   x + 2 y ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ x + x + y + x + 2 y = 0 ⇒ y = - x

Portanto podemos escrever que,

b → = ( x ,   0 ,   - x )

Agora temos que encontrar quanto vale x. Ele diz para gente que a primeira coordenada de b → deve ser positiva, temos que x > 0 . Como ele deve ter norma 1   por estarmos tratando de uma base ortonormal, podemos escrever:

b → = x . ( 1 ,   0 ,   - 1 )

b → = 1

Logo:

x 2 . 1 2 + 0 2 + - 1 2 = 1

x = 1 2

Então,

b → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Passo 3

Por fim, como a → e b → são ortogonais e unitários, seu produto vetorial será ortogonal a ambos e também unitário, essa é a forma de obter c → . Para que a base seja positiva:

c → = a → × b → = i → j → k → 1 3 1 3 1 3 1 2 0 - 1 2

Assim,

c → = - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

Resposta

a → = 1 3 , 1 3 , 1 3

b → = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

c → = - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

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