Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 28
Sejam e . Obtenha uma base ortonormal positiva tal que
1. e sejam de mesmo sentido;
2. seja combinação linear de e ;
3. a primeira coordenada de seja positiva.
Passo 1
Fala ai meu querido, para resolver essa questão vamos ter que descobrir 3 vetores, seguindo 3 condições que o exercício impôs para gente. Vambora então!
Passo 2
Vamos começar descobrindo que é o mais simples, já que ele possui a mesma direção que
Basta normalizar para encontrarmos . Calculando a norma de :
Portanto, para achar , basta dividir cada componente de por :
Passo 2
Pelo que ele diz em 2, é combinação linear de e , então podemos escrever:
Como ele deve ser ortogonal a , ele também deve ser ortogonal a , então fazendo o produto interno desses dois vetores ser igual a 0 (para que eles sejam ortogonais), encontramos:
Portanto podemos escrever que,
Agora temos que encontrar quanto vale x. Ele diz para gente que a primeira coordenada de deve ser positiva, temos que . Como ele deve ter norma por estarmos tratando de uma base ortonormal, podemos escrever:
Logo:
Então,
Passo 3
Por fim, como e são ortogonais e unitários, seu produto vetorial será ortogonal a ambos e também unitário, essa é a forma de obter . Para que a base seja positiva:
Assim,