Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes e justifique sua resposta.

a) Se G = a → ,   b → ,   c → é uma base ortonormal negativa, então

a → ∧ b → = - c →                                                         b → ∧ c → = - a →                             c → ∧ a → = - b →

b → ∧ a → = c →                                                     c → ∧ b → = a →                                         a → ∧ c → = b →  

b) Se E = p → ,   q → ,   r → é uma base ortonormal positiva e u → = 1 ,   2 ,   5 E e v → = 2 ,   0 ,   - 1 E , então

u → ∧ v → = i → j → k → 1 2 5 2 0 - 1 = - 2 ,   11 ,   - 4

Passo 1

Para o item (a), vamos o regra do reloginho. Como a base é negativa, o produto será positivo no sentido horário:

Portanto, fazendo os produtos nesse sentido:

b → ∧ a → = c →                                                     c → ∧ b → = a →                                         a → ∧ c → = b →

No sentido contrário:

a → ∧ b → = - c →                                                         b → ∧ c → = - a →                             c → ∧ a → = - b →

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 2

No item (b) a afirmativa é falsa pois não sabemos que são os vetores i → , j → e k → , conhecemos apenas os vetores da base E = p → ,   q → ,   r → , que é positiva. A afirmação estaria correta se fosse escrita como

u → ∧ v → = p → q → r → 1 2 5 2 0 - 1 = - 2 ,   11 ,   - 4 E

Resposta

V   F

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