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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 13

Encontrando o centro de massa: encontre o centro de massa de uma placa triangular fina delimitada pelo eixo y e as retas y = x e y = 2 - x se δ x , y = 6 x + 3 y + 3  

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

x = 2 - x → x = 1

Logo

0 ≤ x ≤ 1

E:

y = 2 - x

x ≤ y ≤ 2 - x

Assim já podemos definir nosso centro de massa

Passo 2

M = ∬ δ x , y d y d x

M = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x 6 x + 3 y + 3 d y d x

= ∫ 0 1 6 x y + 3 2 y 2 + 3 y x 2 - x d x

∫ 0 1 12 - 12 x 2 d x

12 x - 4 x 3 0 1 = 8

M = 8

Para M x :

M x = ∬ δ x , y y d y d x

∫ 0 1 ∫ x 2 - x y 6 x + 3 y + 3 d y d x

∫ 0 1 3 x y 2 + y 3 + 3 2 y 2 x 2 - x d x

∫ 0 1 14 - 6 x - 6 x 2 - 3 x 3 d x

14 - 3 x 2 - 2 x 3 - x 4 4 0 1 = 17 2

M x = 17 2

Para M y

M y = ∬ δ x , y x d y d x

M y = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x   x 6 x + 3 y + 3 d y d x

∫ 0 1 6 x 2 y + 3 2 x y 2 + 3 x y x 2 - x d x

∫ 0 1 12 - 12 x 3 d x

12 x 2 2 - x 4 4 0 1 = 12 4 = 3

M y = 3

Passo 3

Logo tendo que:

x c m = M y M

E

y c m = M x M

Temos que:

x c m = 3 8

E:

y c m = 17 16

Resposta

x c m = 3 8

E:

y c m = 17 16

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