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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 6

Encontrando uma centroide: encontre a centeoide da região entre o eixo x e o arco y y = s e n x ,   0 ≤ x ≤ π .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo o gráfico da função:

Vemos que o eixo x é limitado de 0 , π e o eixo y o ,   s e n x

Passo 2

Logo temos que:

M = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x d y d x

M = ∫ 0 π s e n x d x

M = - cos ⁡ x 0 π = 1 - - 1 = 2

M = 2

Passo 3

Logo calculemos M x :

M x = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y   d y d x

=   ∫ 0 π y 2 2 0 s e n x d x

1 2 ∫ 0 π s e n 2 x d x

Sabendo que s e n 2 x = 1 + c o s 2 x 2

= 1 2 ∫ 0 π 1 2 + c o s 2 x 2 d x

= 1 2 1 2 x 0 π + 1 2 cos ⁡ 2 x 2 0 π

= 1 2 π 2 + 1 2 - 1 2

M x = π 4

Sabendo M e M x

y = M x M = π 8

E

x = π 2

Resposta

y = M x M = π 8

E

x = π 2

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