Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 7

Encontrando o momento de inercia: encontre o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa fina de densidade δ = 1 delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 4 . Em seguida, utilize seu resultado para encontrar I y e I 0 para a placa.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um gráfico da função, temos:

E temos que o eixo x é limitado pelo intervalo [-2,2] e o eixo x é limitado por y 2 = 4 - x 2 → y = ± 4 - x 2

Logo temos:

I x = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 δ y 2 d y d x

E análogo para I y , e sabendo que I o = I x + I y . E podemos assim achar tudo que queremos.

Passo 2

Tendo que δ = 1

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 y 2 d y d x

∫ - 2 2 y 3 3 - 4 - x 2 4 - x 2 d x

2 3 ∫ - 2 2 4 - x 2 3 2   d x  

Chamemos de u = 4 - x 2 3 2 e v = x de forma de d u = - 3 x 4 - x 2   d x e d v = d x

Então temos:

∫ - 2 2 u   d v

E sabemos pelas técnicas de integração que ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

De forma que:

x 4 - x 2 3 2 - ∫ - 3 x 2 4 - x 2   d x   - 2 2

2 3 6 π

I x = 4 π

E temos por simetria da função objeto dado que I y = _ I x logo I y = 4 π

Passo 3

Tendo I x e I y :

I o = I x + I y

I 0 = 8 π

Resposta

I x = I y = 4 π

I 0 = - 8 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o sólido do Exercício 11; ρ x , y , z = 2
Centroide Encontre o centroide da região cortada da esferasólida r2 + z2 ≤ 1 pelos semiplanos u = –p/3, r ≥ 0 e u = p/3,r ≥ 0.
Centroide Encontre o centroide da região delimitada superiormente pela superfície z = 2r, dos lados pelo cilindro r = 4e inferiormente pelo plano xy
Centroide Encontre o centroide do sólido delimitado superiormente pela esfera r = a e inferiormente pelo cone f = p/4.
Centroide Encontre o centroide do sólido no Exercício 38.