Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 4

Encontrar a área do paraboloide z = x 2 + y 2 limitado superiormente pelo plano z = 2 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R ∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v   d u   d v

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Dada a nossa função, vamos escrever ela em termos de alguns parâmetros. Tome

x = u cos ⁡ v

y = u   s e n v

Logo teremos que

z = u 2

Assim temos que

r → u , θ = ( u cos ⁡ θ , u   s e n   θ , u 2 )

Tenho como referência nossa parametrização, vamos calcular os vetores tangente a nossa superfície

∂ r ∂ u = cos ⁡ v ,   s e n   v , 2 u

∂ r ∂ v = - u   s e n   v ,   u cos ⁡ v , 0

Tirando o produto vetorial entre nossos dois vetores, temos

∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v s e n   v 2 u - u   s e n   v u cos ⁡ v 0 = 2 u 2 cos ⁡ v   i ^ - 2 u 2   s e n   v j ^ + u k ^

E a norma do nosso vetor é

∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v = - 2 u 2 cos ⁡ v 2 + - 2 u 2 s e n   v 2 + u 2 = u 4 u 2 + 1

Agora só nos falta definir os intervalos de integração. Para v temos que devemos varrer todo ângulo, fazendo v ∈ 0,2 π . Enquanto a u temos que estamos limitado superiormente pelo plano z = 2 , assim temos que u ∈ 0 , 2

Assim falta apenas integramos.

Passo 3

Nossa integral pode ser escrita como

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π u 4 u 2 + 1   d v   d u = 2 π ∫ 0 2 u 4 u 2 + 1   d u

Para seguimos com a integral, vamos fazer uma simples substituição

Tome

4 u 2 + 1 = t → u   d u = d t / 8

Isso implica que

u = 0 → t = 1

e

u = 2 → t = 9

Assim nossa integral se transforma

A S = π 4 ∫ 1 9 t   d t = π 4 2 3 t 3 2 1 9 = π 6 27 - 1 = 13 π 3

Que é com bastante alegria que chegamos ao resultado esperado.

Resposta

13 π 3   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a área da parte do paraboloide z = 4 - ( x 2 + y 2 ) acima do plano x y
Calcular a área da superfície plana x / 2 + z = 4 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 .
Calcular a área da superfície do tetraedro cujas faces são partes dos planos z = 0 , y = 0 , x + 4 y + 2 z = 8 e - 2 x + 4 y + 2 z = 8
Seja S a face da frente do tetraedro limitados pelos planos coordenados e pelo plano x a + y b + z c = 1 ; a , b , c0 Mostrar que a área de S é dada por A S = A 1 2 + A 2 2 + A 3 2 Onde A 1 , A 2 e A
Determinar a área da superfície do paraboloide z = x 2 + y 2 exterior ao cone z = x 2 + y 2