Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 10
Calcular a área da parte do paraboloide delimitada pelos planos e .
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro tome nossa função fazendo com que nossa integral seja na verdade definida da seguinte maneira:
Assim temos como nossas derivadas direcionais
e
Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em
Vamos usar coordenadas cilindras para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.
Assim nossa integral se transforma
Pelas equações do plano que nos limitam, temos que em e em
Nesta temos que enquanto varia de à .
Passo 3
Vamos integrar?
Para a primeira parte, vamos fazer
Assim temos que em e