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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 14

Calcular a área da parte do paraboloide z = 4 - ( x 2 + y 2 ) acima do plano x y

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = 4 - ( x 2 + y 2 )

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = - 2 x

e

∂ z ∂ y = - 2 y

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - 2 x 2 + - 2 y 2 = 1 + 4 ( x 2 + y 2 )

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. Lembrando de nossas aulas de Geometria analítica, temos que nos atentar que nosso paraboloide cresce no sentido de z → - ∞ . Entretanto estamos limitados pelo plano x y . Assim fazendo uma parametrização apropriada para nos ajudar a entender melhor nos limites, fazendo

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Nosso d x   d y se transforma em r   d r   d θ .

O enunciado sugere que z ≥ 0 , assim temos que r ∈ 0,2 e θ ∈ 0,2 π .

Passo 4

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 r   d r   d θ

Vamos começar com uma substituição simples 1 + 4 r 2 = u → r   d r =   d u / 8

E consequentemente r = 0 → u = 1 e r = 2 → u = 1 7

Assim temos

A A S = 1 8 ∫ 0 2 π ∫ 1 17 u   d u   d θ = π 6 u 3 2 1 17 = 17 17 - 1 6 π

Resposta

17 17 - 1 6 π   u . a

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