Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 19
Calcular a área da superfície plana recortada pelo cone .
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas .
Seja
Tomando nossas derivadas direcionais, temos
e
Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em
Assim nossa integral se resume, por enquanto, a
Passo 3
Vamos agora verificar nossos limites de integração. E no nosso caso, os limites de integração estão relacionamos com o limite da nossa superfície de intersecção plano/cone. Vamos fazer a seguinte estratégia, tome a equação do plano e iguale com a do cone, assim teremos
O que queremos fazer agora é reduzir essa equação para a equação de alguma superfície. Então vamos levar da seguinte forma
Vamos agora transformar a relação com em um quadrado perfeito, na qual
Assim conseguimos escrever tomando e
E essa é nossa equação que limita nossa integral.
Vamos usar coordenadas polares e fazer a seguinte parametrização
e
Quando fazemos essa transformação, transformamos . E ai temos que saber quem é nosso Jacobiano.
Lembre-se, O jacobiano é definido como
No nosso caso, teremos que
com nossos limites em e .
Passo 4
Vamos integrar?
Por fim ficamos com