Calcular a área da superfície plana x / 2 + z = 4 recortada pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = 4 - x / 2  

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = - 1 2

e

∂ z ∂ y = 0

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - 1 / 2 2 = 5 2

Assim nossa integral se resume, por enquanto, a

A S = ∬ R 5 2 d x   d y

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. E no nosso caso, os limites de integração estão relacionamos com o limite da nossa superfície de intersecção plano/cone. Vamos fazer a seguinte estratégia, tome a equação do plano e iguale com a do cone, assim teremos

4 - x 2 = x 2 + y 2 → 4 - x 2 2 = x 2 + y 2

O que queremos fazer agora é reduzir essa equação para a equação de alguma superfície. Então vamos levar da seguinte forma

3 4 x 2 + 4 x - 16 + y 2 = 0

Vamos agora transformar a relação com x em um quadrado perfeito, na qual

a x + b 2 = a 2 x 2 + 2 a b + b 2

Assim conseguimos escrever tomando a = 3 / 2   e b = 4 3 / 3

3 2 x + 4 3 3 2 + y 2 = 64 3

E essa é nossa equação que limita nossa integral.

Vamos usar coordenadas polares e fazer a seguinte parametrização

3 2 x + 4 3 3 = r cos ⁡ θ

e

y = r   s e n   θ

Quando fazemos essa transformação, transformamos d x   d y → J d r   d θ . E ai temos que saber quem é nosso Jacobiano.

Lembre-se, O jacobiano é definido como

J = ∂ x , y ∂ r , θ = ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ θ = ∂ x ∂ r ∂ y ∂ θ - ∂ y ∂ r ∂ x ∂ θ

No nosso caso, teremos que

J = 2 3 3 r

com nossos limites em   r ∈ 0 , 8 3   e θ ∈ 0,2 π .

Passo 4

Vamos integrar?

Por fim ficamos com

A S = 5 2 2 3 3   ∫ 0 2 π ∫ 0 8 / 3 r     d r   d θ

A S = 2 π 15 3 r 2 2 0 8 3 = 64 15 π 9

Resposta

64 15 π 9   u . a

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