Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 21
Seja a face da frente do tetraedro limitados pelos planos coordenados e pelo plano
Mostrar que a área de é dada por
Onde e são as áreas das outras faces do tetraedro.
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
Pelo que o enunciado nos falou, temos um tetraedro com faces nos planos , , e no plano .
Assim queremos saber como está disposto nosso tetraedro. Para isso vamos calcular as retas que cruzam os planos.
No plano que implica temos
Assim para a superfície no plano nossos limites de integração são e.
E nossa integral se resume em
No plano que implica temos
Com nossos limites e
E nossa integral se resume em
No plano que implica temos
Com nossos limites e
E nossa integral se resume em
Passo 3
Ainda temos mais uma integral para fazer, que é referente ao plano
Assim vamos primeiro tomar nossa
Seguindo o passo a passo sugerido no passo 1, que tecnicamente foi aplicado em todas as integrais (consegue perceber?), vamos calcular nossas derivadas direcionais
E
Assim nosso fator integrante é
E lembrando que nossos limites são definidos pela projeção da superfície no nosso plano , que já calculamos em nossa primeira integral. Assim temos
Passo 4
Agora vamos tomar como nos pede o enunciado
Que é exatamente o resultado obtido no passo anterior e o que queríamos mostrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)