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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 21

Seja S a face da frente do tetraedro limitados pelos planos coordenados e pelo plano

x a + y b + z c = 1 ; a , b , c > 0

Mostrar que a área de S é dada por

A S = A 1 2 + A 2 2 + A 3 2

Onde A 1 , A 2 e A 3 são as áreas das outras faces do tetraedro.

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Pelo que o enunciado nos falou, temos um tetraedro com faces nos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e no plano x / a + y / b + z / c = 1 .

Assim queremos saber como está disposto nosso tetraedro. Para isso vamos calcular as retas que cruzam os planos.

No plano x y que implica z = 0 temos

y = b - b a x

Assim para a superfície no plano x y nossos limites de integração são x ∈ 0 , a e   y ∈ 0 , b - b a x .

E nossa integral se resume em

A 1 = ∫ 0 a ∫ 0 b - b a x d y   d x = b x - b a x 2 2 0 a = b a - b a 2 = b a 2  

No plano z y que implica x = 0 temos

z = c - c b y

Com nossos limites y ∈ 0 , b e z ∈ 0 , c - c b y

E nossa integral se resume em

A 1 = ∫ 0 b ∫ 0 c - c b y d z   d y = c y - c b y 2 2 0 b = c b - c b 2 = c b 2  

No plano x z que implica y = 0 temos

z = c - c a x

Com nossos limites x ∈ 0 , a e z ∈ 0 , c - c a x

E nossa integral se resume em

A 1 = ∫ 0 a ∫ 0 c - c a x d z   d x = c x - c a x 2 2 0 a = c a - c a 2 = c a 2  

Passo 3

Ainda temos mais uma integral para fazer, que é referente ao plano

x a + y b + z c = 1

Assim vamos primeiro tomar nossa f x , y = z

f x , y = c - c a x - c b y

Seguindo o passo a passo sugerido no passo 1, que tecnicamente foi aplicado em todas as integrais (consegue perceber?), vamos calcular nossas derivadas direcionais

∂ z ∂ x = - c a

E

∂ z ∂ y = - c b

Assim nosso fator integrante é

1 + - c a 2 + - c b 2 = a b 2 + c b 2 + c a 2 a b 2 = a b 2 + c b 2 + c a 2 a b

E lembrando que nossos limites são definidos pela projeção da superfície no nosso plano x y , que já calculamos em nossa primeira integral. Assim temos

A S = a b 2 + c b 2 + c a 2 a b ∫ 0 a ∫ 0 b - b a x d y   d x =

a b 2 + 2 c 2 a b b x - b a x 2 2 0 a = a b 2 + c b 2 + c a 2 a b a b 2 = a b 2 + c b 2 + c a 2 2  

Passo 4

Agora vamos tomar como nos pede o enunciado

A 1 2 + A 2 2 + A 3 2 = a b 2 + b c 2 + c a 2 2 = A S

Que é exatamente o resultado obtido no passo anterior e o que queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: i )f x , y , z = 1 - x 2 ;σ é a parte da superfície cilíndrica z 2 + x 2 = 1 que se encontra dentro do cone z ≥ x 2 + y 2 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: i )f x , y , z = z 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ;σ é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 ≤ 2 y .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:c ) f (x , y , z) = x^2 + y^2 ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v^2) , u^2 + v^2 = 1 .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:f (x , y , z) = x y ; sigma (u , v) = (u - v , u + v , 2 u + v + 1) , 0 = u = 1 e 0 = v = u .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:d ) f (x , y , z) = y ; sigma (u , v) = (u , v , 1 - u^2) , 0 = u = 1 ; 0 = v = sqrt(u) .