Encontrar a área da superfície do cilindro x 2 + z 2 = 25 limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 3 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R ∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v   d u   d v

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Nossa função já foi dada, entretanto precisamos fazer uma parametrização que nos ajude a trabalhar melhor nossa integração.

Vamos fazer

x = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

y = y

Assim temos que

r → θ , y = ( 5 cos ⁡ θ , y , 5   s e n   θ )

Isso nos da

∂ r ∂ θ = - 5   s e n   θ ,   0 ,   5 cos ⁡ θ

∂ r ∂ y = 0,1 , 0

Tirando o produto vetorial entre nossos dois vetores, temos

∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v = i ^ j ^ k ^ 5 cos ⁡ θ 0 5   s e n   θ 0 1 0 = - 5   s e n   θ   i ^ + 5 cos ⁡ θ k ^

E a norma do nosso vetor é

∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v = - 5   s e n   θ 2 + 5 cos ⁡ θ 2 = 5

Agora só nos falta definir os intervalos de integração. Para isso vamos olhar os planos que nos limitam. Primeiro Vamos ver as limitações na direção y , onde temos que nosso intervalo se limita entre 0 e 3 . Agora na direção θ temos que olhar para x .

Observando a imagem, temos que nosso θ se limita entre 0 e s e n - 1 ( 2 / 5 ) . Assim estamos prontos para começar a integrar nosso problema.

Passo 3

Nossa integral pode ser escrita como

A S = ∫ 0 3 ∫ 0 s e n - 1 ( 2 / 5 ) 5   d θ   d y

Agora vamos resolver e vê no que dá.

Integrando na direção y , temos algo bastante simples.

A S = 15 ∫ 0 s e n 1 ( 2 / 5 ) d θ = 15   s e n - 1 ( 2 / 5 )

Entretanto eu só calculei a metade do que eu realmente queria. Logo temos que a área total será

A S = 30   s e n - 1 ( 2 / 5 )

Resposta

30   s e n - 1 ( 2 / 5 )   u . a

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