Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 2
Calcular a área da superfície do paraboloide interceptado pelo plano
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
Nossa função já foi dada em termos de , entretanto precisamos fazer uma parametrização que nos ajude a trabalhar melhor nossa integração.
Vamos fazer
Assim temos
Precisamos nos lembrar de nossas aulas de geometria analítica e olhar para nossa quádrica e perceber que nosso paraboloide está virado para baixo, tendo como ponto mais alto . Como ele intercepta com o plano , temos que por consequência. Obviamente precisamos rotacionar nosso paraboloide para pegar todos os pontos, logo .
Nossa integral que era assim
Precisa se transformar para e , onde
Onde é o nosso Jacobiano, que em coordenada cartesianas vale .
Vamos mostrar?
O Jacobiano é definido como
Assim temos
Passo 3
Vamos agora integrar e finalmente terminar com isso hahaha
e
E ficamos com
Vamos fazer uma pequena substituição
Fazendo . Com isso nosso intervalo se altera da seguinte forma
e
E nossa integral
Simples, não?
Seguindo
Exatamente o que eu acabei de olhar na resposta hahaha ... provando que o livro as vezes acerta.