Calcular a área da parte da esfera x² + y² + z² = 16 interior ao cilindro y^2 + z^2 = 4z.

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro tome nossa função f y , z

f y , z = x = 16 - y 2 - z 2

Tendo assim como derivadas direcionais

∂ x ∂ y = - y 16 - y 2 - z 2

e

∂ x ∂ z = - z 16 - y 2 - z 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - y 16 - y 2 - z 2 2 + - y 16 - y 2 - z 2 2 = 4 16 - y 2 - z 2

Vamos usar coordenadas cilindras para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.

y = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

x = 16 - r 2

Assim nossa integral se transforma

A S = ∬ R 4 16 - y 2 - z 2 d y   d z = ∬ R 4 16 - r 2   r   d r   d θ

Entretanto ainda precisamos entender como nosso cilindro este disposto.

y 2 + z = 4 z → x - 2 2 + y 2 = 4

Um cilindro de dentro 0,2 no plano y z e raio 2.

Onde temos

θ ∈ - π 2 , π 2

r ∈ 0 , R cos ⁡ θ

Onde R é o raio da esfera.

Passo 3

Vamos integrar?

A S = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ 4 r 16 - r 2 d r   d θ

Para a primeira parte, vamos fazer 9 - r 2 = u → r   d r = - d u / 2

Assim temos

A S = - 4 ∫ - π 2 π 2 16 - r 2 0 4 cos ⁡ θ d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

A S =   - 4 ∫ - π 2 π 2 16 - 16 cos 2 ⁡ θ - 4   d θ = 4 2 ∫ - π 2 π 2 ( 1 - 1   s e n   θ )   d θ  

A S = 16 θ + cos ⁡ θ - π 2 π 2

= 16 π

Que é apenas a parte que está em x > 0 assim temos que a área total é o dobro o que encontramos, ficando com

A S = 32 π

Resposta

32 π   u . a

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