Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 15
Calcular a área da parte do cone que está no interior do paraboloide z = .
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas .
Seja
Tomando nossas derivadas direcionais, temos
e
Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em
Passo 3
Vamos agora verificar nossos limites de integração. Tanto o cone quanto o paraboloide crescem na direção de . Em algum momento eles se encontram. Mas quando? A ideia é relacionar as duas equações.
Ou seja
Tomando uma parametrização adequada como
implica que e além disso temos . Devemos lembrar que dada a transformação, nosso se transforma em .
Passo 4
Vamos integrar?
Nossa integral agora possui a seguinte cara
Assim temos