Encontrar a área da superfície do plano 2x + y + 2z = 16 , interceptado por

  1. x = 0, y = 0, x = 2 e y = 3
  2. x = 0, y = 0 e x^2 + y^2 = 36 , no 1° octante

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

  1. Primeiro vamos calcular as derivadas direcionais para nos ajudar a resolver nossa integral.
  2. Seja

    z = 8 - x - y 2

    Estão temos que

    ∂ z ∂ x = - 1

    e

    ∂ z ∂ y = - 1 2

    Assim o nosso fator de integração pode ser resolvido

    1 + - 1 2 + - 1 2 2 = 9 4 = 3 2

    O que simplifica bastante nosso problema. O intervalo de integração sugerido até que é bastante simples, onde x ∈ 0,2 e y ∈ 0,3

    Assim fica fácil integrar o nosso retângulo

    A S = ∫ 0 2 ∫ 0 3 3 2 d y d x = 3 2 3 ⋅ 2 = 9   u . a

    Passo 3

  3. Já calculamos o fator de integração no passo anterior, ficando com a nossa integral faltando apenas encontrar nossos limites de integração para o novo problema. Assim vamos analisar nossas limitações.

Estamos trabalhando no primeiro octante, isso indica que todas as variáveis são positivas. Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, afim de nos ajudar a entender melhor o problema.

Tome

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Onde em coordenadas polares

∂ r ∂ u ∧ ∂ r ∂ v = r

E uma vez que estamos no primeiro octante do espaço, ou no primeiro quadrante do nosso plano x y , temos que r ∈ 0,6 e θ ∈ 0 , π / 2 , ficandos com

A S = 3 / 2   ∫ 0 6 ∫ 0 π / 2 r   d r   d θ

Um integral fácil de trabalharmos.

Assim temos

A S = 3 2 π 2 r 2 2 0 6 = 27 2 π

Resposta

  1. 9   u . a
  2. 27 2 π   u . a
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