Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 5
Encontrar a área da superfície do plano , interceptado por
- e
- e , no 1° octante
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
- Primeiro vamos calcular as derivadas direcionais para nos ajudar a resolver nossa integral.
- Já calculamos o fator de integração no passo anterior, ficando com a nossa integral faltando apenas encontrar nossos limites de integração para o novo problema. Assim vamos analisar nossas limitações.
Seja
Estão temos que
e
Assim o nosso fator de integração pode ser resolvido
O que simplifica bastante nosso problema. O intervalo de integração sugerido até que é bastante simples, onde e
Assim fica fácil integrar o nosso retângulo
Passo 3
Estamos trabalhando no primeiro octante, isso indica que todas as variáveis são positivas. Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, afim de nos ajudar a entender melhor o problema.
Tome
Onde em coordenadas polares
E uma vez que estamos no primeiro octante do espaço, ou no primeiro quadrante do nosso plano , temos que e , ficandos com
Um integral fácil de trabalharmos.
Assim temos