Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 78
Encontre a 1000ª derivada de .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a 1000ª derivada da seguinte função:
Provavelmente você deve estar pensando que o livro é louco em pedir para você derivar uma função 1000 vezes....
Bom, na verdade, o que o exercício quer de você é que você derive algumas vezes e tente achar um padrão e, daí, prever qual seria a 1000ª derivada. Vamos tentar fazer isso!!!
Perceba que nossa função é formada pela multiplicação entre outras duas funções. Sendo assim, a primera derivada será dada pela regra do produto. Sendo ela:
Além disso, lembre-se que a derivada da exponencial é dada pela regra da cadeia. Sendo ela:
Vamos ver o que acontece a partir daqui.
Passo 2
Vou denotar a primeira derivada por , a segunda derivada por , e assim por diante.
A primeira derivada será:
Tomando as próximas derivadas:
Passo 3
Já deu para pegar o padrão?
Note que as derivadas pares são do tipo e as ímpares são , onde é o índice da derivada.
Como a 1000ª derivada é par, temos que
Entendeu direitinho?? Respode aee 😉