Encontre f .

f'(x) = x^(-1/3), f(1) = 1, f(-1) = -1

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que encontrar a função f e para isso foram dadas algumas informações...

f ' x = x - 1 / 3 ,     f 1 = 1 ,     f - 1 = - 1

Tem ideia de como fazemos isso?

Foi dada a derivada da função f e dois pontos que pertencem a essa função.

Para obter f temos que fazer o caminho inverso da derivada, ou seja, calcular a função primitiva de f ' .

Como f ' é uma função potencial, podemos aplicar a regra inversa da derivada pela regra da potência:

a x n → a x n + 1 n + 1 + C

Para n ≠ - 1 e C sendo uma constante que sempre temos que acrescentar quando fazemos esse caminho inverso da derivada.

Porém, como foram dados dois pontos de f , vamos usá-los para determinar esse valor de C .

Show? Bora começar!

Passo 2

Aplicando a regrinha que vimos no passo 1 para obter a antiderivada de f ' , temos:

f x = x - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 + C

f x = x 2 3 2 3 + C

Simplificando a fração...

f x = 3 2 x 2 3 + C

Foi dito que f 1 = 1 , ou seja.

f 1 = 3 2 1 2 3 + C = 1

C = - 1 2

E tambem foi dito que f - 1 = - 1 , logo...

f - 1 = 3 2 - 1 2 3 + C = - 1

C = - 5 2

Como encontramos dois valores de C , podemos imaginar que a função f é uma função definida por partes, onde para x ≥ 0 ela assume C = - 1 2 e para x < 0 ela assume C = - 5 2 .

Ou seja:

f x = 3 2 x 2 3 - 1 2 ,     x ≥ 0 3 2 x 2 3 - 5 2 ,     x < 0

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f x = 3 2 x 2 3 - 1 2 ,     x ≥ 0 3 2 x 2 3 - 5 2 ,     x < 0

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