Encontre f .

f''(x) = 4 - 6x - 40x^3, f(0) = 2, f'(0) = 1

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f ' ' x = 4 - 6 x - 40 x 3 ,           f 0 = 2 ,             f ' 0 = 1

E pede pra gente encontrar f . Que na verdade é a antiderivada da sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada da antiderivada, temos que achar uma função que derivando f ' e derivando novamente, nós encontramos f ' ' .

Passo 2

Podemos começar relembrando algumas antiderivadas importantes com a ajuda da tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ' ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, que está na terceira linha da tabela

ficando com

f ' ' x = 4 - 6 x - 40 x 3

f ' x = 4 x - 6 2 x 2 - 40 4 x 4 + C = 4 x - 3 x 2 - 10 x 4 + C

Perceba que derivando f ' ( x ) , temos

f ' ' x = 4 - 6 x - 40 x 3

Dessa forma, f ' ( x ) é a antiderivada de f ' ' ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f ' ( x ) , temos

f ' x = 4 x - 3 x 2 - 10 x 4 + C

f x = 4 x 2 2 - 3 x 3 3 - 10 x 5 5 + C x + D = 2 x 2 - x 3 - 2 x 5 + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = 4 x - 3 x 2 - 10 x 4 + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f ' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D .

Sabemos que

f ' ' x = 4 - 6 x - 40 x 3 ,           f 0 = 2 ,             f ' 0 = 1

Aplicando f ' 0 = 1 , temos

f ' x = 4 x - 3 x 2 - 10 x 4 + C

f ' 0 = 4 ( 0 ) - 3 ( 0 ) 2 - 10 ( 0 ) 4 + C

C = 1

Aplicando f 0 = 2 , temos

f x = 2 x 2 - x 3 - 2 x 5 + x + D

f 0 = 2 ( 0 ) 2 - 0 3 - 2 ( 0 ) 5 + 0 + D

D = 2

Assim, nossa função é dada por:

f x = 2 x 2 - x 3 - 2 x 5 + x + 2

E prontinho. Achamos!

Resposta

f x = 2 x 2 - x 3 - 2 x 5 + x + 2

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