Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 38
Encontre .
Passo 1
Fala aí. Tudo certinho por aí?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente encontrar . Que na verdade é a antiderivada da sua antiderivada mais geral.
Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.
Então, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Pronto, então para achar a antiderivada da antiderivada, temos que achar uma função que derivando e derivando novamente, nós encontramos .
Passo 2
Podemos começar relembrando algumas antiderivadas importantes com a ajuda da tabela de antiderivadas da seção .
Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de . Para isso, utilizaremos a regra da potência, que está na terceira linha da tabela
ficando com
Perceba que derivando , temos
Dessa forma, é a antiderivada de .
Encontrando agora a antiderivada de , temos
Derivando , temos
Dessa forma, é a antiderivada de .
Passo 3
Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes e .
Sabemos que
Aplicando , temos
Aplicando , temos
Assim, nossa função é dada por:
E prontinho. Achamos!