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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 27

Encontre f .

f ' ' x = 2 3 x 2 / 3

Passo 1

Fala, galera! Bora pra mais uma questão? 🤓

O enunciado nos dá a segunda derivada

f ' ' x = 2 3 x 2 / 3

de uma função desconhecida f , e pede pra gente encontrar quem é essa função f .

Uma boa ideia para resolver essa questão é responder à seguinte pergunta: qual é a função f ( x ) que se eu derivar duas vezes vou obter f ' ' x =   2 3 x 2 / 3 ?

Isso parece muito com o conceito de primitiva!

Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?

Bem, uma primitiva da função f ( x ) , em um determinado intervalo I , é uma função derivável F ( x ) cuja derivada é igual a f ( x ) . Isto é:

d d x F x = f x                   p a r a   t o d o   x ∈ I .

Mas fique atento aqui, se somarmos uma constante qualquer a primitiva F , sua derivada ainda será igual a f (pois a derivada de uma constante é zero). Então, a primitiva mais geral de f é a função

F x + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Dessa forma, vamos precisar encontrar as duas primitivas abaixo:

  • Primeiro, a primitiva f ' ( x ) de f ' ' ( x ) , ou seja, f ' ( x ) é tal que

d d x f ' x = f ' ' x .

  • Segundo, a primitiva f ( x ) de f ' ( x ) , ou seja, f ( x ) é tal que

d d x f x = f ' x .  

Faremos isso usando a Regra da Potência, beleza?

  • Uma primitiva de uma potência x n é dada por

G x =   x n + 1 n + 1 ,

pois a derivada de G (usando a Regra da Potência para derivadas) é

d d x x n + 1 n + 1 = x n .

O valor de n só não poder ser - 1 , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?

Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 🎉.

Nos próximos passos, vamos encontrar cada uma dessas primitivas e descobrir quem é a função f .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a primitiva de

f ' ' x = 2 3 x 2 / 3 .

Para isso, utilizamos a Regra da Potência, ficando com

f ' x = 2 3 x 2 3 + 1 2 3 + 1 + C 1 = 2 3 3 5 x 5 3 + C 1 ,

onde C 1 é a constante necessária em uma primitiva geral (não podemos esquecer dela, né?).

Rearrumando os termos, temos que a primitiva de f ' ' é a função

f ' x = 2 5 x 5 3 + C 1 .

Pra ver se fizemos tudo certinho até agora, vamos derivar a função encontrada e ver se ela é a função f ' ' dada no enunciado.

Derivando f ’ ( x ) , temos

f ' ' x = 2 3 x 2 / 3 .

Dessa forma, f ' ( x ) é realmente a primitiva de f ' ' ( x ) .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primitiva f ( x ) da função f ' ( x ) encontrada no passo anterior:

f ' x = 2 5 x 5 3 + C 1 .

O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois f ( x ) também é uma função polinomial. Usando a Regra da Potência para cada um dos seus termos, vamos ter

f x = 2 5 x 5 3 + 1 5 3 + 1 +   C 1 x 0 + 1 0 + 1 + C 2 ,  

novamente não podemos esquecer da constante C 2 , tá?

Rearrumando os termos:

f x = 2 5 3 8 x 8 3 + C 1 x + C 2 ,

ou seja, a primitiva da função f ' é dada por

f x = 3 20 x 8 3 + C 1 x + C 2 ,

onde C 1 e C 2 são constantes quaisquer.

Derivando para confirmar se está tudo certinho:

f ' x = 2 5 x 5 3 + C 1 .

Dessa forma, encontramos a função procurada

f x = 3 20 x 8 3 + C 1 x + C 2 .

Resposta

A função f procurada é dada por:

f x = 3 20 x 8 3 + C 1 x + C 2 ,

onde C 1 e C 2 são constantes quaisquer.

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