Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 27
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Passo 1
Fala, galera! Bora pra mais uma questão? 🤓
O enunciado nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede pra gente encontrar quem é essa função
Uma boa ideia para resolver essa questão é responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva!
Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
Mas fique atento aqui, se somarmos uma constante qualquer a primitiva , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Então, a primitiva mais geral de é a função
onde é uma constante qualquer.
Dessa forma, vamos precisar encontrar as duas primitivas abaixo:
- Primeiro, a primitiva de ou seja, é tal que
- Segundo, a primitiva de ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência, beleza?
- Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 🎉.
Nos próximos passos, vamos encontrar cada uma dessas primitivas e descobrir quem é a função
Passo 2
Primeiramente, iremos encontrar a primitiva de
Para isso, utilizamos a Regra da Potência, ficando com
onde é a constante necessária em uma primitiva geral (não podemos esquecer dela, né?).
Rearrumando os termos, temos que a primitiva de é a função
Pra ver se fizemos tudo certinho até agora, vamos derivar a função encontrada e ver se ela é a função dada no enunciado.
Derivando , temos
Dessa forma, é realmente a primitiva de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a primitiva da função encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a Regra da Potência para cada um dos seus termos, vamos ter
novamente não podemos esquecer da constante , tá?
Rearrumando os termos:
ou seja, a primitiva da função é dada por
onde e são constantes quaisquer.
Derivando para confirmar se está tudo certinho:
Dessa forma, encontramos a função procurada
Resposta
A função procurada é dada por:
onde e são constantes quaisquer.