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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 32

Encontre f .

f ' x = 2 x - 3 x 4 ,             x > 0 ,             f 1 = 3

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f ' x = 2 x - 3 x 4 ,             x > 0 ,             f 1 = 3

E pede pra gente encontrar f . Que na verdade é sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Vamos começar procurando a função que ao derivarmos resulta em

f ' x = 2 x - 3 x 4 ,             x > 0 ,             f 1 = 3

Para isso, utilizaremos a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Veja só!

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, que está na terceira linha da tabela

ficando com

f ' x = 2 x - 3 x 4

Então:

f x = 2 2 x 2 - 3 - 3 x - 3 + C

Ou melhor

f x = x 2 + x - 3 + C

Pra conferir podemos testar.

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = 2 x - 3 x 4

Dessa forma, encontramos nossa função f onde C é uma constante. Como a derivada de f x é igual a f ' x , então f x é a antiderivada de f ' x .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Podemos encontrar o valor da constante C utilizando a condição dada no enunciado.

Sabemos que

f ' x = 2 x - 3 x 4 ,             x > 0 ,             f 1 = 3

Aplicando f 1 = 3 , temos

f 1 = 1 2 + 1 - 3 + C

C = 1

Dessa forma, a função f x será dada por

f x = x 2 + x - 3 + 1

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Prontinho.

Resposta

f x = x 2 + x - 3 + 1

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