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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 38

Encontre f .

f ' x = 4 1 - x 2 ,           f 1 2 = 1

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f ' x = 4 1 - x 2 ,           f 1 2 = 1

E pede pra gente encontrar f . Que na verdade é sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Vamos começar procurando a função que ao derivarmos resulta em

f ' x = 4 1 - x 2 ,           f 1 2 = 1

Para isso, utilizaremos a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da raiz, ficando com

f ' x = 4 1 - x 2

f x = 4 arcsin ⁡ x + C

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = 4 1 - x 2

Dessa forma, concluímos que f ( x ) é a antiderivada de f ' ( x ) .

Passo 3

Podemos encontrar o valor da constante C utilizando a condição dada.

Aplicando f 1 2 = 1 , temos:

f x = 4 arcsin ⁡ x + C

f 1 2 = 4 arcsin ⁡ 1 2 + C

1 = 4 * π 6 + C ∴

C = 1 - 2 π 3

Assim, temos que a nossa função é dada por:

f x = 4 arcsin ⁡ x + 1 - 2 π 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f x = 4 arcsin ⁡ x + 1 - 2 π 3

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