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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 28

Encontre f^' ( x ) e f^(' ') ( x ) .

f (x) = x^((5)/(2)) e^x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema devemos achar a primeira derivada e a segunda derivada da função

f (x) = x^((5)/(2)) e^x

Parece complicado? 🤔

Perceba que a função f é composta pelo produto de duas outras funções x^((5)/(2)) e e^x .

Para isso, usaremos a regra do produto, regra do tombo e que a derivada da exponencial é ela própria.

f = g * h -> f^' = g^' * h + g * h^'

Veja só! 😎

Passo 2

A primeira derivada de f será dada por

f^' (x) = (x^((5)/(2)))^' * e^x + x^((5)/(2)) * (e^x)^'

f^' (x) = (5)/(2) x^((3)/(2)) e^x + x^((5)/(2)) e^x

Simplificando...

f^' (x) = ((5)/(2) x^((3)/(2)) + x^((5)/(2))) e^x

Tranquilo até aqui? ����

Passo 3

Para acharmos f^(' ') ( x ) , calculamos a deriva de f^' ( x ) tambem pela regra do produto

f^(' ') (x) = ((5)/(2) x^((3)/(2)) + x^((5)/(2)))^' * e^x + ((5)/(2) x^((3)/(2)) + x^((5)/(2))) * (e^x)^'

f^(' ') (x) = ((15)/(4) x^((1)/(2)) + (5)/(2) x^((3)/(2))) e^x + ((5)/(2) x^((3)/(2)) + x^((5)/(2))) e^x

Rearranjando os termos:

f^(' ') (x) = (x^((5)/(2)) + 5 x^((3)/(2)) + (15)/(4) x^((1)/(2))) e^x

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

f^' (x) = ((5)/(2) x^((3)/(2)) + x^((5)/(2))) e^x

f^(' ') (x) = (x^((5)/(2)) + 5 x^((3)/(2)) + (15)/(4) x^((1)/(2))) e^x

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