Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada

24. D_x(tg^3 x * sec x)

Passo 1

Beleza, para resolver essa derivada vamos primeiro aplicar a Regra do Produto:

d d x f x g ( x ) = f ' x g x + f x g ' ( x )

Para nossa derivada vai ficar:

d d x t g 3 x s e c x = d d x t g 3 x s e c x + t g 3 x d d x ( s e c x )

Passo 2

Vamos resolver a primeira derivada que apareceu após aplicarmos a regra:

d d x t g 3 x

Para fazê-la vamos ter que aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função ‘mais de fora’:

d d t t 3 = 3 t 2

E então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela, assim:

3 t g 2 x d d x ( t g x )

Resolvendo a derivada e multiplicando fica:

3 t g 2 x   s e c 2 x

Passo 3

A outra derivada é mais fácil, podemos resolver diretamente:

d d x s e c x = t g x s e c x

Passo 4

E por último vamos substituir os dois resultados na nossa Regra do Produto do Passo 1:

d d x t g 3 x s e c x = d d x t g 3 x s e c x + t g 3 x d d x ( s e c x )

Que vai ficar:

d d x t g 3 x s e c x = 3 t g 2 x   s e c 2 x   s e c x + t g 3 x   t g x s e c x

Reescrevendo:

d d x t g 3 x s e c x = 3 t g 2 x   s e c 3 x + t g 4 x   s e c x

Resposta

d d x t g 3 x s e c x = 3 t g 2 x   s e c 3 x + t g 4 x   s e c x

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