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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 35

Encontre f ' ( a ) .

f (x) = sqrt(1 - 2 x)

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular f ' ( a ) sabendo que:

f (x) = sqrt(1 - 2 x)

f ' ( a ) é a derivada de f ( x ) no ponto a , então a gente vai usar a definição de derivada, que diz que:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f ( a ))/(h)

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h -> 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Temos que:

f (a) = sqrt(1 - 2 a)

Substituindo:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (sqrt(1 - 2 (a + h)) - sqrt(1 - 2 a))/(h)

Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a) :

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(1 - 2 (a + h)) - sqrt(1 - 2 a))/(h) xx (sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a))/(sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a))

underset(h -> 0)(lim) (1 - 2 (a + h) - (1 - 2 a))/(h sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a)) = underset(h -> 0)(lim) (- 2 h)/(h sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a))

underset(h -> 0)(lim) (- 2)/(sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a))

Agora sim podemos calcular o limite:

underset(h -> 0)(lim) (- 2)/(sqrt(1 - 2 (a + h)) + sqrt(1 - 2 a)) = (- 2)/(sqrt(1 - 2 a) + sqrt(1 - 2 a))

= - (1)/(2 sqrt(1 - 2 a))

Então temos que:

f^' (a) = - (1)/(2 sqrt(1 - 2 a))

Prontinhoo!

Resposta

f^' (a) = - (1)/(2 sqrt(1 - 2 a))

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