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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 34

Encontre f ' ( a ) .

f (x) = x^(- 2)

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular f ' ( a ) sabendo que:

f (x) = x^(- 2)

Podemos escrever:

f (x) = (1)/(x^2)

f ' ( a ) é a derivada de f ( x ) no ponto a , então a gente vai usar a definição de derivada, que diz que:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f ( a ))/(h)

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h -> 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Temos que:

f (a) = (1)/(a^2)

Então:

f (a + h) = (1)/((a + h)^2)

Substituindo:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/((a + h)^2) - (1)/(a^2))/(h)

Fazendo o mmc no numerador temos:

underset(h -> 0)(lim) (a^2 - (a + h)^2)/(a^2 (a + h)^2) (1)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (a^2 - (a^2 + 2 a h + h^2))/(a^2 h (a + h)^2)

= underset(h -> 0)(lim) (- 2 a h - h^2)/(a^2 h (a + h)^2)

Isolando o h no numerador:

underset(h -> 0)(lim) (h (- 2 a - h))/(a^2 h (a + h)^2) = underset(h -> 0)(lim) (- 2 a - h)/(a^2 (a + h)^2)

Agora sim podemos calcular o limite:

underset(h -> 0)(lim) (- 2 a - h)/(a^2 (a + h)^2) = (- 2 a)/(a^2 (a)^2) = (2)/(a^3)

Então temos que:

f^' (a) = - (2)/(a^3)

Prontinhoo!

Resposta

f^' (a) = - (2)/(a^3)

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