Encontre f'(x) e f''(x):

30) f(x) = x / (x^2 - 1)

Passo 1

Bom, precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma divisão entre os termos. Então o que usamos?

A Regra do Quociente, certo? Vamos lembrar:

Se chamarmos:

f x = x

g x = x ² - 1

Derivando:

d d x f x = 1

d d x g x = 2 x

Substituindo:

d d x f x g x = x 2 - 1 1 - x ( 2 x ) x 2 - 1 2

Então:

d d x f x g x = x 2 - 1 - 2 x ² x 2 - 1 2 = - x 2 + 1 x 2 - 1 2

Vamos manipular um pouquinho isto aqui:

d d x f x g x = - x 2 + 1 x 2 - 1 2

Achamos a derivada primeira, agora precisamos da derivada segunda!

Passo 2

Agora temos uma nova função:

f ' ( x ) = - x 2 + 1 x 2 - 1 2

Também possui uma razão entre as funções, então vamos resolver da mesma maneira que f x .

Chamamos:

f x = - x 2 - 1

g x = x 2 - 1 2

Derivando:

d d x f x = - 2 x

d d x g x = 2 x 2 - 1 2 x = 4 x x 2 - 1

Substituindo:

d d x f x g x = - 2 x x 2 - 1 2 - 4 x x 2 - 1 - x 2 - 1 x 2 - 1 2 2

f ' ' x = - 2 x x 4 - 2 x 2 + 1 - 4 x - x 4 - x 2 + x 2 + 1 x 2 - 1 4

f ' ' x = - 2 x 5 + 4 x 3 - 2 x - 4 x 1 - x 4 x 2 - 1 4

f ' ' x = - 2 x 5 + 4 x 3 - 2 x - 4 x + 4 x 5 x 2 - 1 4

f ' ' x = 2 x 5 + 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 4

Resposta

f ' ( x ) = - x 2 + 1 x 2 - 1 2

f ' ' x = 2 x 5 + 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 4

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