Enunciado

47 – 50 Encontre y ' e y ' ' .

48. y = 1 1 + tg ⁡ x 2

Passo 1

Oiiie, bora láaa

A questão pede para encontrar as derivadas primeira e segunda da função y = 1 1 + tg ⁡ x 2 , denotadas por (   y ' )   e   (   y ' ' ) , respectivamente.

Para receber dicas sobre como resolver essa questão, é útil revisar os conceitos de diferenciação, especialmente as regras para diferenciar funções trigonométricas e funções compostas.

A função dada é uma função do tipo quociente, u v , onde (   u   =   1   )   e   (   v   =   1   +   t a n x 2 . Você pode aplicar a regra do quociente para encontrar a primeira derivada (   y ' ) .

Dentro da função v , há uma função composta, 1 + tan ⁡ ( x ) que envolve uma função trigonométrica e uma função linear. Lembre-se de aplicar a regra da cadeia para diferenciar corretamente esta função.

Ao diferenciar tan ⁡ ( x ) você precisará usar as derivadas das funções trigonométricas básicas, como sin ⁡ ( x )   e cos ⁡ ( x ) .

A função v é elevada ao quadrado, então você precisará aplicar a regra da potência ao diferenciar v e a regra do produto para diferenciar v novamente para obter a segunda derivada y ' ' .

Passo 2

Aplicando a derivada na função, temos:

y ' = d d x 1 1 + tg ⁡ x 2

Podemos reescrever a função para ficar mais fácil enxergar derivada dessa função:

y ' = d d x 1 + tg ⁡ x - 2

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver. Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa é:

f g x = g x - 2

e sua derivada é:

f ' g x = - 2 g x - 3

Já a função de dentro, a interna, é

g x = 1 + tg ⁡ x

Derivadando, fica:

g ' x = 0 + sec 2 ⁡ x

A primeira derivada dessa função fica:

y ' = - 2 g x - 3 ⋅ sec 2 ⁡ x

Como g x = 1 + tg ⁡ x

y ' = - 2 1 + tg ⁡ x - 3 ⋅ sec 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos derivar mais uma vez, para encontrarmos a segunda derivada:

y ' ' = d d x - 2 1 + tg ⁡ x - 3 ⋅ sec 2 ⁡ x

Vamos usar a regra do produto:

y ' ' = - 2 d d x 1 + tg ⁡ x - 3 ⋅ sec 2 ⁡ x + d d x sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + tg ⁡ x - 3

Precisamos encontrar o valor das derivadas que aparece na expressão, a primeira delas é:

d d x 1 + tg ⁡ x - 3

Usando a regra da cadeia:

A função de fora, a externa, é:

g h x = h x - 3

e sua derivada é:

g ' h x = - 3 h x - 4

Passo 4

E a função de dentro, a interna, é:

h x = 1 + tg ⁡ x

Que já sabemos que a derivada é igual a:

h ' x = sec 2 ⁡ x

Então a primeira derivada que aparece na nossa expressão para y ' fica:

d d x 1 + tg ⁡ x - 3 = - 3 h x - 4 ⋅ sec 2 ⁡ x

Como h x = 1 + tg ⁡ x :

d d x 1 + tg ⁡ x - 3 = - 3 1 + tg ⁡ x - 4 ⋅ sec 2 ⁡ x

Passo 5

Para a segunda derivada:

d d x sec 2 ⁡ x

Também precisamos da regra da cadeia. A função de fora, a externa, é:

g h x = h x 2

e sua derivada é:

g ' h x = 2 h x

E a função de dentro, a interna, é:

h x = sec ⁡ x

A derivada da secante é igual a secante vezes a tangente:

h ' x = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Então a segunda derivada que aparece na nossa expressão para y ' fica:

d d x sec 2 ⁡ x = 2 h x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Como h x = sec ⁡ x :

d d x sec 2 ⁡ x = 2 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

d d x sec 2 ⁡ x = 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Passo 6

Voltando para a função principal, temos:

y ' ' = - 2 d d x 1 + tg ⁡ x - 3 ⋅ sec 2 ⁡ x + d d x sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + tg ⁡ x - 3

Sabemos que

d d x 1 + tg ⁡ x - 3 = - 3 1 + tg ⁡ x - 4 ⋅ sec 2 ⁡ x

e

d d x sec 2 ⁡ x = 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Então nossa função fica:

y ' ' = - 2 - 3 1 + tg ⁡ x - 4 ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x ⋅ 1 + tg ⁡ x - 3

Fazendo as multiplicações e reescrevendo o que tem coeficiente negativo como um termo que está dividindo:

y ' ' = - 2 - 3 sec 4 ⁡ x 1 + tg ⁡ x 4 + 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x 1 + tg ⁡ x 3

Fazendo a soma dessas frações:

y ' ' = 6 sec 4 ⁡ x - 4 sec 2 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x 1 + tg ⁡ x 1 + tg ⁡ x 4

Resposta

y ' ' = 6 sec 4 ⁡ x - 4 sec 2 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x 1 + tg ⁡ x 1 + tg ⁡ x 4

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