Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 48
47 – 50 Encontre e .
48.
Passo 1
Oiiie, bora láaa
A questão pede para encontrar as derivadas primeira e segunda da função , denotadas por respectivamente.
Para receber dicas sobre como resolver essa questão, é útil revisar os conceitos de diferenciação, especialmente as regras para diferenciar funções trigonométricas e funções compostas.
A função dada é uma função do tipo quociente, , onde . Você pode aplicar a regra do quociente para encontrar a primeira derivada
Dentro da função há uma função composta, que envolve uma função trigonométrica e uma função linear. Lembre-se de aplicar a regra da cadeia para diferenciar corretamente esta função.
Ao diferenciar você precisará usar as derivadas das funções trigonométricas básicas, como
A função é elevada ao quadrado, então você precisará aplicar a regra da potência ao diferenciar e a regra do produto para diferenciar novamente para obter a segunda derivada
Passo 2
Aplicando a derivada na função, temos:
Podemos reescrever a função para ficar mais fácil enxergar derivada dessa função:
Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver. Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso, temos que a função de fora, a externa é:
e sua derivada é:
Já a função de dentro, a interna, é
Derivadando, fica:
A primeira derivada dessa função fica:
Como
Passo 3
Agora vamos derivar mais uma vez, para encontrarmos a segunda derivada:
Vamos usar a regra do produto:
Precisamos encontrar o valor das derivadas que aparece na expressão, a primeira delas é:
Usando a regra da cadeia:
A função de fora, a externa, é:
e sua derivada é:
Passo 4
E a função de dentro, a interna, é:
Que já sabemos que a derivada é igual a:
Então a primeira derivada que aparece na nossa expressão para fica:
Como :
Passo 5
Para a segunda derivada:
Também precisamos da regra da cadeia. A função de fora, a externa, é:
e sua derivada é:
E a função de dentro, a interna, é:
A derivada da secante é igual a secante vezes a tangente:
Então a segunda derivada que aparece na nossa expressão para fica:
Como :
Passo 6
Voltando para a função principal, temos:
Sabemos que
e
Então nossa função fica:
Fazendo as multiplicações e reescrevendo o que tem coeficiente negativo como um termo que está dividindo:
Fazendo a soma dessas frações: