Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 38
Encontre .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar a função , sabendo que sua derivada é dada por
Além disso também sabemos que
Vamos lá, para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
Ou seja, queremos saber qual é a função que quando derivamos, resulta nessa que o enunciado deu pra gente,
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Para o nosso caso, usaremos a informação do ponto conhecido
Aplicando diretamente na função, e isso ajudará a gente a descobrir o valor dessa constante .
Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar lembrando que a antiderivada da função é da forma:
e de são da forma:
Agora podemos aplicar isso a cada termo da nossa função. Sendo:
Teremos:
Passo 3
Como ainda não sabemos o valor da constante , vamos aplicar o ponto dado no enunciado diretamente nessa função que acabamos de encontrar. Assim, podemos dizer que:
E isolando , teremos:
Agora basta substituir o valor de na expressão:
E prontinho, achamos !!