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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 39

Calcule a integral.

∫ 1 8 2 + t t 2 3 d t

Passo 1

Oie, vamos resolver essa questão!

Precisamos calcular a integral definida

∫ 1 8 2 + t t 2 3 d t .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 1 ,   8 ] e o integrando é a função

f t =   2 + t t 2 3 = 2 + t t - 2 3 ,

ou seja,

f t = 2 t - 2 3 + t 1 3 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f t d t = ∫ f t d t a b

    onde ∫ f t d t é a primitiva da função f , ou seja,

    d d t ∫ f ( t ) d t   = f t .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

    • ∫ f t + g t d t =   ∫ f t d t +   ∫ g ( t ) d t .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f t d t =   c ∫ f ( t ) d t .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função t n é a função

∫ t n   d t = t n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 1 ,   8 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t .

Para isso, usamos as propriedades da integral indefinidas dadas no Passo 1 . Logo,

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t = 2 ∫ t - 2 3   d t + ∫ t 1 3 d t .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos temos que

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t = 6 t 1 3 + 3 4 t 4 3 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d t 6 t 1 3 + 3 4 t 4 3 + C = 2 t - 2 3 + t 1 3 = f ( t ) ,

então encontramos a integral indefinida geral (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 1 ,   8 ] , temos:

∫ 1 8 2 t - 2 3 + t 1 3 d t =   ∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t 1 8 .

Como no passo anterior encontramos que

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t = 6 t 1 3 + 3 4 t 4 3 + C ,

calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em t =   8

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t ​ t = 8 = 6 ( 8 ) 1 3 + 3 4 ( 8 ) 4 3 + C ,

ou seja,

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t ​ t = 8 = 12 + 3 4 ⋅ 16 + C .

Logo,

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t ​ t = 1 = 24 + C .

Em t = 1

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t ​ t = 1 = 6 ( 1 ) 1 3 + 3 4 ( 1 ) 4 3 + C ,

ou seja,

∫ 2 t - 2 3 + t 1 3   d t ​ t = 1 = 27 4 + C .

Substituindo na igualdade do Teorema e fazendo as contas, temos que:

∫ 1 8 2 t - 2 3 + t 1 3 d t = 24 + C - 27 4 + C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 1 8 2 + t t 2 3 d t = ∫ 1 8 2 t - 2 3 + t 1 3 d t = 69 4 .

Resposta

A integral vale:

∫ 1 8 2 + t t 2 3 d t = 69 4 .

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29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.31- Se a integral de f ( x ) no intervalo [ a , b ] for negativa, então f ( x ) ≤ 0 em cada a ≤ x ≤ b
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.32- A função f x = 0 ,x ≤ 0 x 2 ,x0 É integrável em qualquer intervalo [ a , b ]
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.29- Se f ( x ) for integrável em [ a , b ] , então f ( x ) será contínua em [ a , b ] .