Enunciado

Avalie a integral.

int_1^8 (2 + t)/(root(3)(t^2)) d t

Passo 1

Para calcular essa integral vamos manipular a expressão, vamos expandir:

int_1^8 (2 + t)/(root(3)(t^2)) d t = int_1^8 (2 + t)/(t^((2)/(3))) d t = int_1^8 (2)/(t^((2)/(3))) + (t)/(t^((2)/(3))) d t = int_1^8 2 t^(- (2)/(3)) + t * t^(- (2)/(3)) d t = int_1^8 2 t^(- (2)/(3)) + t^(1 - (2)/(3)) d t = int_1^8 2 t^(- (2)/(3)) + t^((1)/(3)) d t

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int 2 t^(- (2)/(3)) + t^((1)/(3)) d t = int 2 t^(- (2)/(3)) d t + int t^((1)/(3)) d t

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int 2 t^(- (2)/(3)) d t + int t^((1)/(3)) d t = 2 int t^(- (2)/(3)) d t + (t^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1) + C = 2 * (t^((1)/(3)))/((1)/(3)) + (t^((4)/(3)))/((4)/(3)) + C = 2 * 3 * t^((1)/(3)) + (3 t^((4)/(3)))/(4) + C = 6 t^((1)/(3)) + (3 t^((4)/(3)))/(4) + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^8 2 t^(- (2)/(3)) + t^((1)/(3)) d t = (6 t^((1)/(3)) + (3 t^((4)/(3)))/(4))_1^8 = 6 * 8^((1)/(3)) + (3 * 8^((4)/(3)))/(4) - (6 * 1^((1)/(3)) + (3 * 1^((4)/(3)))/(4)) =

= 12 + 12 - (6 + (3)/(4)) = 24 - (27)/(4) = (69)/(4)

Resposta

int_1^8 (2 + t)/(root(3)(t^2)) d t = (69)/(4)

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37-38 Calcule as integrais completando o quadrado e aplicando as fórmulas apropriadas de geometria.38. ∫ 0 3 6 x - x 2 d x
42. Defina a função f em função [ 0,1 ] por f x = 1 ,s e0x ≤ 1 0 ,s ex = 0 Use a definição 5.5.1 para mostrar que ∫ 0 1 f x d x
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.31- Se a integral de f ( x ) no intervalo [ a , b ] for negativa, então f ( x ) ≤ 0 em cada a ≤ x ≤ b
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.32- A função f x = 0 ,x ≤ 0 x 2 ,x0 É integrável em qualquer intervalo [ a , b ]
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.29- Se f ( x ) for integrável em [ a , b ] , então f ( x ) será contínua em [ a , b ] .