Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 30

Vamos lá, nessa questão temos que a terceira derivada de uma função é dada por:

E queremos encontrar .

para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :

E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :

onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.

Para achar vamos ter que achar a antiderivada três vezes, vamos lá!

Primeiro vamos manipular a função retirando a raíz:

Sua antiderivada será portanto:

Aqui podemos usar as seguintes regras. Para o cosseno:

Logo,

E para a potência de temos:

Logo,

Agora juntando tudo e somando uma constant temos:

Vamos agora mais uma vez, dessa vez aplicando em .

Vamos usar as seguintes regras. Para o seno temos:

Logo,

Para a potência de , temos:

Logo,

E para a constante temos:

Agora juntando tudo e somando uma nova constante temos:

Agora vamos fazer uma última vez, dessa vez aplicando em

Usando as fórmulas que já trabalhamos nos passos anteriores, vamos chegar em:

Pronto, achamos !!