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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 22

Encontre (d y)/(d x) |_x = 1 .

y = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)/(x^3)

Passo 1

Para encontrar (d y)/(d x) |_x = 1 primeiro achar (d y)/(d x) usando os Teoremas 2.3 . 1 , Regra da Constante, 2.3 . 2 , Regra da Potência, 2.3 . 4 , Regra do Múltiplo Constante e 2.3 . 5 , Regra da Soma e da Diferença:

(d)/(d x) (c) = 0

(d)/(d x) (x^n) = n x^(n - 1)

(d)/(d x) (c f (x)) = c (d)/(d x) (f (x))

(d)/(d x) (f (x) +- g (x)) = (d)/(d x) (f (x)) +- (d)/(d x) (g (x))

Passo 2

Vamos aplicar:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)/(x^3)) = (d)/(d x) ((1)/(x^3) + (x)/(x^3) + (x^2)/(x^3) + (x^3)/(x^3) + (x^4)/(x^3) + (x^5)/(x^3) + (x^6)/(x^3)) =

= (d)/(d x) ((1)/(x^3) + (1)/(x^2) + (1)/(x) + 1 + x + x^2 + x^3) =

= (d)/(d x) ((1)/(x^3)) + (d)/(d x) ((1)/(x^2)) + (d)/(d x) ((1)/(x)) + (d)/(d x) (1) + (d)/(d x) (x) + (d)/(d x) (x^2) + (d)/(d x) (x^3) =

= (d)/(d x) (x^(- 3)) + (d)/(d x) (x^(- 2)) + (d)/(d x) (x^(- 1)) + 0 + x^(1 - 1) + 2 x^(2 - 1) + 3 x^(3 - 1) =

= - 3 x^(- 3 - 1) + (- 2) x^(- 2 - 1) + (- 1) x^(- 1 - 1) + x^0 + 2 x + 3 =

= - (3)/(x^4) - (2)/(x^3) - (1)/(x^2) + 1 + 2 x + 3 x^2

Passo 3

Agora vamos aplicar o valor 1 :

(d y)/(d x) |_x = 1 = - (3)/(1^4) - (2)/(1^3) - (1)/(1^2) + 1 + 2 * 1 + 3 * 1^2 = - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3 = 0

Resposta

(d y)/(d x) |_x = 1 = 0

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