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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.12 - Ex. 23

Seja p x = x - a x - b , sendo a e b contantes. Mostrar que se a ≠ b , então p a = p b = 0 , mas p ' a ≠ p ' b ≠ 0 .

Passo 1

Queremos nessa questão provar duas coisas. A primeira é que se a ≠ b , então p a = p b = 0 e a segunda é que segunda é que se a ≠ b , então p ' a ≠ p ' b ≠ 0 .

Passo 2

Começamos mostrando que se a ≠ b , então p a = p b = 0 . Para isso, só precisamos calcular p a e p b .

Para p a temos :

p a = a - a a - b

p a = 0 a - b

p a = 0

Para p b temos:

p b = b - a b - b

p b = b - a 0

p b = 0

Com isso provamos que se a ≠ b , então p a = p b = 0 .

Passo 3

Começamos mostrando que se a ≠ b , então p ' a ≠ p ' b ≠ 0 . Para isso, só precisamos derivar a função p x e depois calcular p ' a e p ' b . Podemos derivar a função pela regra do produto. Temos que a derivada de p x é a seguinte:

p ' x = x - a ' × x - b + x - a × x - b '

p ' x = 1 × x - b + x - a × 1

p ' x = x - b + x - a

Passo 4

Agora só precisamos calcular p ' a e p ' b .

Para p a temos :

p ' a = a - b + a - a

p a = a - b + ( 0 )

p a = a - b

Para p ' b temos:

p ' b = b - b b - a

p ' b = 0 + b - a

p ' b = b - a

Com isso provamos que se a ≠ b , então p ' a ≠ p ' b ≠ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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