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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 26

Encontre (d y)/(d x) :

y = l o g ( 1 - s e n^2 ( x ) )

Passo 1

Analisando a função observamos que temos uma função dentro da outra e para isso usaremos a Regra da Cadeira.

Vamos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

(f (g (x))^')

y = l o g ( 1 - s e n^2 ( x ) )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f (x) = l o g ( g (x) )

u = g (x) = ( 1 - s e n^2 (x) )

Aplicando na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

y = l o g ( u )

Usando as identidades trigonométricas, temos :

cos^2 (x) = 1 - s e n^2 (x)

cos^2 (x) = (1 + c o s ( 2 x ))/(2)

Então substituindo e 2 x = h :

u = 1 - s e n^2 (x) = (1 + c o s ( 2 x ))/(2) = (1 - c o s ( h ))/(2)

Derivando primeiro a função f em relação a u :

A derivada de um logaritmo pode ser dada por:

y = l o g_a x

(d y)/(d x) = (1)/(x . l o g_e a) = (1)/(x . l n ( a ))

(d y)/(d u) = (1)/(u . l n ( 10 ))

E derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = (d)/(d x) ((1 + cos (2 x))/(2)) = - s e n ( 2 x )

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde (d y)/(d x) :

Sabendo que:

Aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = - s e n ( 2 x ) . (1)/(u . l n ( 10 ))

Substituindo u em (d y)/(d u) :

(d y)/(d x) = - s e n ( 2 x ) . (1)/(c o s^2 (x) . l n ( 10 ))

Substituindo pela identidade trigonométrica s e n (2 x) = 2 . s e n (x) . c o s ( x ) :

(d y)/(d x) = (- 2 . s e n (x) . c o s ( x ))/(c o s^2 (x) . l n ( 10 ))

Podemos fazer alguns cortes na equação :

(d y)/(d x) = (2 . s e n ( x ))/(c o s (x) . l n ( 10 ))

Pela substituição trigonométrica c o t g (x) = (s e n ( x ))/(c o s ( x )) :

(d y)/(d x) = (2 . t g ( x ))/(l n ( 10 ))

Resposta

(d y)/(d x) = (2 . t g ( x ))/(l n ( 10 ))

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