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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 4

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita:

x^3 + y^3 = 3 x y^2

Passo 1

Para começarmos, vamos derivar implicitamente por x ambos os lados da nossa igualdade:

(d)/(d x) [ x^3 + y^3 ] = (d)/(d x) [ 3 x y^2 ]

Podemos abrir a soma e constantes para fora:

(d)/(d x) [x^3] + (d)/(d x) [y^3] = 3 * (d)/(d x) [ x y^2 ]

3 x^2 + (d)/(d x) [y^3] = 3 * (d)/(d x) [ x y^2 ]

Passo 2

Pela regra do produto:

3 x^2 + (d)/(d x) [y^3] = 3 * ((d)/(d x) [x] * y^2 + x * (d)/(d x) [y^2])

3 x^2 + (d)/(d x) [y^3] = 3 * (y^2 + x * (d)/(d x) [y^2])

Pela regra da cadeia:

3 x^2 + (d [y^3])/(d y) * (d y)/(d x) = 3 * (y^2 + x * (d [y^2])/(d y) * (d y)/(d x))

3 x^2 + 3 y^2 * (d y)/(d x) = 3 * (y^2 + x * 2 y * (d y)/(d x))

3 y^2 * (d y)/(d x) - 6 y (d y)/(d x) = 3 y^2 - 3 x^2 *

(3 y^2 - 6 y) * (d y)/(d x) = 3 y^2 - 3 x^2

Assim,

(d y)/(d x) = (3 y^2 - 3 x^2)/((3 y^2 - 6 y))

Ou

(d y)/(d x) = (y^2 - x^2)/((y^2 - 2 y))

Resposta

(d y)/(d x) = (y^2 - x^2)/((y^2 - 2 y))

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