Resolva o problema de valor incial:

  1. dy/dx = (1 - x) / raiz(x), y(1) = 0
  2. dy/dx = cos(x) - 5e^x, y(0) = 0
  3. dy/dx = raiz_3(x), y(1) - 2
  4. dy/dx = x \* e^(x^2), y(0) = 0

Passo 1

  1. d y d x = 1 - x x       ,   y 1 = 0
  2. O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

    d y = 1 - x x d x

    Reorganizando os dados, temos:

    d y = 1 . x - 1 / 2 - x 1 - 1 2 d x

    d y = [ x - 1 2 - x 1 2 ] d x

    Podemos integrar de ambos os lados:

    ∫ d y = ∫ x - 1 2 - x 1 2 d x

    Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais:

    y x = ∫ x - 1 2   d x - ∫ x 1 / 2 d x

    y x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 - x 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

    y x = 2 x - 2 3 x 3 2 + C

    Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que   y 1 = 0 , então temos o conjunto de pontos 1 ,   0 .   Podemos aplicar na fórmula encontrada:

    y x = 2 x - 2 3 x 3 2 + C

    0 = 2 1 - 2 3 . 1 3 2 + C

    Dessa forma:

    0 = 2 - 2 3 + C

    C = - 4 3

    Então, a equação encontrada:

    y x = 2 x - 2 3 x 3 2 - 4 3

    Passo 2

  3. d y d x = cos ⁡ x - 5 e x ,     y 0 = 0
  4. O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

    d y = cos ⁡ x - 5 e x d x

    Reorganizando os dados, temos:

    d y = cos ⁡ x - 5 e x d x

    Podemos integrar de ambos os lados:

    ∫ d y = ∫ c o s ⁡ ( x ) - 5 e x d x

    Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais:

    y x = ∫ c o s ⁡ ( x ) - ∫ 5 e x d x

    Retirando a constante da integral:

    y x = ∫ c o s ⁡ ( x ) - 5 ∫ e x d x

    y x = s e n x - 5 e x + C

    Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que   y 0 = 0 , então temos o conjunto de pontos 0 ,   0 .   Podemos aplicar na fórmula encontrada:

    y x = 2 x - 2 3 x 3 2 + C

    0 = s e n 0 - 5 e 0 + C

    Dessa forma:

    0 = 0 - 5 + C

    C = 5

    Então, a equação encontrada:

    y x = s e n x - 5 e x + 5

    Passo 3

  5. d y d x =   x 3 ,       y 1 = 2
  6. O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

    d y = x 3 d x

    Reorganizando os dados, temos:

    d y = x 1 / 3 d x

    Podemos integrar de ambos os lados:

    ∫ d y = ∫ x 1 / 3 d x

    y x = x 1 3 + 1 1 3 + 1 + C

    y x = 3 4 x 4 3 + C

    Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que   y 1 = 2 , então temos o conjunto de pontos 1 ,   2 .   Podemos aplicar na fórmula encontrada:

    y x = 3 4 x 4 3 + C

    2 = 3 4 + C

    Dessa forma:

    C = 5 4

    Então, a equação encontrada:

    y x = 3 4 x 4 3 + 5 4

    Passo 4

  7. d y d x = x e x 2 ,       y 0 = 0

O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

d y = x e x 2 d x

Podemos integrar de ambos os lados:

∫ d y = ∫ x e x 2 d x

Considerando que:

x 2 = u

d u = 2 x d x

x d x = d u 2

Podemos integrar por substituição:

y x = ∫ e u d u 2 + C

y x = 1 2 e u + C

Substituindo u :

y x = 1 2 e x 2 + C

Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que   y 0 = 0 , então temos o conjunto de pontos 0 ,   0 .   Podemos aplicar na fórmula encontrada:

y x = 1 2 e x 2 + C

0 = 1 2 e 0 + C

Dessa forma:

C = - 1 2

Então, a equação encontrada:

y x = 1 2 e x 2 - 1 2

Resposta

(a)   y x = 2 x - 2 3 x 3 2 - 4 3

(b)   y x = s e n x - 5 e x + 5

(c)   y x = 3 4 x 4 3 + 5 4

(d)   y x = 1 2 e x 2 - 1 2

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