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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 9

Resolva o problema de valor incial:

  1. (d y)/(d x) = (1 - x)/(sqrt(x)) , y (1) = 0
  2. (d y)/(d x) = cos (x) - 5 e^x , y (0) = 0
  3. (d y)/(d x) = root(3)(x) , y (1) - 2
  4. (d y)/(d x) = x e^(x^2) , y (0) = 0

Passo 1

  1. (d y)/(d x) = (1 - x)/(sqrt(x)) , y (1) = 0

    2. O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

    d y = [(1 - x)/(sqrt(x))] d x

    Reorganizando os dados, temos:

    d y = [1 . x^(- 1 // 2) - x^(1 - (1)/(2))] d x

    d y = [ x^(- (1)/(2)) - x^((1)/(2)) ] d x

    Podemos integrar de ambos os lados:

    int d y = int [x^(- (1)/(2)) - x^((1)/(2))] d x

    Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais:

    y (x) = int x^(- (1)/(2)) d x - int x^(1 // 2) d x

    y (x) = [(x^(- (1)/(2)) + 1)/(- (1)/(2) + 1)] - [(x^((1)/(2)) + 1)/((1)/(2) + 1)] + C

    y (x) = 2 sqrt(x) - (2)/(3) x^((3)/(2)) + C

    Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que y (1) = 0 , então temos o conjunto de pontos (1 , 0) . Podemos aplicar na fórmula encontrada:

    y (x) = 2 sqrt(x) - (2)/(3) x^((3)/(2)) + C

    0 = 2 sqrt(1) - (2)/(3) . 1^((3)/(2)) + C

    Dessa forma:

    0 = 2 - (2)/(3) + C

    C = - (4)/(3)

    Então, a equação encontrada:

    y (x) = 2 sqrt(x) - (2)/(3) x^((3)/(2)) - (4)/(3)

    Passo 2

  2. (d y)/(d x) = cos (x) - 5 e^x , y (0) = 0

    3. O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

    d y = [cos (x) - 5 e^x] d x

    Reorganizando os dados, temos:

    d y = [cos (x) - 5 e^x] d x

    Podemos integrar de ambos os lados:

    int d y = int [c o s ( x ) - 5 e^x] d x

    Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais:

    y (x) = int c o s ( x ) - int 5 e^x d x

    Retirando a constante da integral:

    y (x) = int c o s ( x ) - 5 int e^x d x

    y (x) = s e n (x) - 5 e^x + C

    Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que y (0) = 0 , então temos o conjunto de pontos (0 , 0) . Podemos aplicar na fórmula encontrada:

    y (x) = 2 sqrt(x) - (2)/(3) x^((3)/(2)) + C

    0 = s e n (0) - 5 e^0 + C

    Dessa forma:

    0 = 0 - 5 + C

    C = 5

    Então, a equação encontrada:

    y (x) = s e n (x) - 5 e^x + 5

    Passo 3

  3. (d y)/(d x) = root(3)(x) , y (1) = 2

    4. O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

    d y = [root(3)(x)] d x

    Reorganizando os dados, temos:

    d y = [x^(1 // 3)] d x

    Podemos integrar de ambos os lados:

    int d y = int [x^(1 // 3)] d x

    y (x) = [(x^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1)] + C

    y (x) = (3)/(4) x^((4)/(3)) + C

    Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que y (1) = 2 , então temos o conjunto de pontos (1 , 2) . Podemos aplicar na fórmula encontrada:

    y (x) = (3)/(4) x^((4)/(3)) + C

    2 = (3)/(4) + C

    Dessa forma:

    C = (5)/(4)

    Então, a equação encontrada:

    y (x) = (3)/(4) x^((4)/(3)) + (5)/(4)

    Passo 4

  4. (d y)/(d x) = x e^(x^2) , y (0) = 0

O P V I foi dado pela equação acima, podemos reescreve-lo da seguinte maneira:

d y = [x e^(x^2)] d x

Podemos integrar de ambos os lados:

int d y = int [x e^(x^2)] d x

Considerando que:

x^2 = u

d u = 2 x d x

x d x = (d u)/(2)

Podemos integrar por substituição:

y (x) = int (e^u d u)/(2) + C

y (x) = (1)/(2) e^u + C

Substituindo u :

y (x) = (1)/(2) e^(x^2) + C

Precisamos saber o quanto vale C , sabendo que y (0) = 0 , então temos o conjunto de pontos (0 , 0) . Podemos aplicar na fórmula encontrada:

y (x) = (1)/(2) e^(x^2) + C

0 = (1)/(2) e^0 + C

Dessa forma:

C = - (1)/(2)

Então, a equação encontrada:

y (x) = (1)/(2) e^(x^2) - (1)/(2)

Resposta

(a) y (x) = 2 sqrt(x) - (2)/(3) x^((3)/(2)) - (4)/(3)

(b) y (x) = s e n (x) - 5 e^x + 5

(c) y (x) = (3)/(4) x^((4)/(3)) + (5)/(4)

(d) y (x) = (1)/(2) e^(x^2) - (1)/(2)

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