Encontre dy/dx

y = raiz(arccotg(x))

Passo 1

E aí meu abigo, logo de cara a gente olha pra essa raiz feiosa e da vontade de elevar ao quadrado né? Quando a gente faz isso fica assim:

y 2 = a r c cotg ⁡ x

Então podemos falar o seguinte:

cot ⁡ y 2 = x

Beleuza, mas o que fazer com essa equação?

Passo 2

Já que a questão pede pra gente acharmos d y / d x , vamos derivar implicitamente pra ver o que aparece:

( cot ⁡ y 2 ) ' = x '

Como a derivada de cot ⁡ u é - csc 2 ⁡ ( u ) .   u '

- csc 2 y 2 .   y 2 ' ⁡ = 1

Mas y 2 ' nada mais é do que d y 2 d x , não é verdade? Então fica assim:

- csc 2 y 2 .   d y 2 dx ⁡ = 1

- csc 2 y 2   2 y  dy dx   ⁡ = 1

Opaaaa já apareceu o d y / d x aí, já podemos até isolar ele:

d y d x = - 1 2 y   csc 2 ⁡ ( y 2 )

Passo 3

Mas agora precisamos do valor de csc 2 ⁡ ( y 2 ) que a gente não tem ☹. Mas vamos com calma, é só usarmos a Relação Fundamental Trigonométrica, que diz o seguinte:

cot 2 ⁡ u + 1 = csc 2 ⁡ u

No nosso caso u = y 2

cot 2 ⁡ ( y 2 ) + 1 = csc 2 ⁡ ( y 2 )

Além disso a gente viu lá em cima que:

cot ⁡ y 2 = x

Então já conseguimos tirar o valor de   csc 2 ⁡ ( y 2 ) :

csc 2 ⁡ y 2 = 1 + x 2

Passo 4

Então vamos pegar esse valor de   csc 2 ⁡ ( y 2 ) que a gente achou e vamos substituir naquela expressão de   d y / d x que tínhamos encontrado:

d y d x = - 1 2 y   ( 1 + x 2 )

Opa, mas ainda tem um y ali que não pode estar na resposta ne? Basta a gente usar próprio enunciado:

y = a r c   c o t g ⁡ ( x )  

Substituindo a gente já chega direto no que o enunciado pediu:

d y d x = - 1 2 a r c   c o t g ⁡ ( x )     ( 1 + x 2 )

Resposta

d y d x = - 1 2 a r c   c o t g ⁡ ( x )     ( 1 + x 2 )

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