Encontre dy/dx

y = raiz(arcocotg(x))

Passo 1

E aí meu abigo, logo de cara a gente olha pra essa raiz feiosa e da vontade de elevar ao quadrado né? Quando a gente faz isso fica assim:

y^2 = a r c cotg (x)

Então podemos falar o seguinte:

cot (y^2) = x

Beleuza, mas o que fazer com essa equação?

Passo 2

Já que a questão pede pra gente acharmos d y // d x , vamos derivar implicitamente pra ver o que aparece:

( cot (y^2) ) ' = x^'

Como a derivada de cot (u) é - csc^2 ( u ) . u '

- csc^2 (y^2) . (y^2)^' = 1

Mas (y^2)^' nada mais é do que (d (y^2))/(d x) , não é verdade? Então fica assim:

- csc^2 (y^2) . (d (y^2))/(dx) = 1

- csc^2 (y^2) 2 y (dy)/(dx) = 1

Opaaaa já apareceu o d y // d x aí, já podemos até isolar ele:

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 y csc^2 ( y^2 ))

Passo 3

Mas agora precisamos do valor de csc^2 ( y^2 ) que a gente não tem ☹. Mas vamos com calma, é só usarmos a Relação Fundamental Trigonométrica, que diz o seguinte:

cot^2 u + 1 = csc^2 u

No nosso caso u = y^2

cot^2 ( y^2 ) + 1 = csc^2 ( y^2 )

Além disso a gente viu lá em cima que:

cot (y^2) = x

Então já conseguimos tirar o valor de csc^2 ( y^2 ) :

csc^2 (y^2) = 1 + x^2

Passo 4

Então vamos pegar esse valor de csc^2 ( y^2 ) que a gente achou e vamos substituir naquela expressão de d y // d x que tínhamos encontrado:

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 y ( 1 + x^2 ))

Opa, mas ainda tem um y ali que não pode estar na resposta ne? Basta a gente usar próprio enunciado:

y = sqrt(a r c c o t g ( x ) )

Substituindo a gente já chega direto no que o enunciado pediu:

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 sqrt(a r c c o t g ( x ) ) ( 1 + x^2 ))

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 sqrt(a r c c o t g ( x ) ) ( 1 + x^2 ))

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