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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 45

Use a Fórmula (1), o formato alternativo para a definição de derivada dado na Fórmula (13) da Seção 2.2, ou seja,

f ' x = lim w → x ⁡ f w - f x w - x

E a identidade da diferença de senos

s e n   α - s e n   β = 2   s e n   α - β 2 cos ⁡ α + β 2

Para mostrar que d d x s e n   x = cos ⁡ x .

Passo 1

O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada de seno por essa definição alternativa que ele deu. Então a gente tem que:

f x = s e n   x

f w = s e n   w

Podemos substituir isso na fórmulinha que ele deu:

f ' x = lim w → x ⁡ s e n   w - s e n   x w - x

Passo 2

Agora chegou o momento de usar a diferença de senos no termo s e n   w - s e n   x . Vamos lá:

s e n   α - s e n   β = 2   s e n   α - β 2 cos ⁡ α + β 2

s e n   w - s e n   x = 2   s e n   w - x 2 cos ⁡ w + x 2

Voltando para o limite:

f ' x = lim w → x ⁡ 2   s e n   w - x 2 cos ⁡ w + x 2 w - x = lim w → x ⁡   s e n   w - x 2 cos ⁡ w + x 2 w - x 2 = lim w → x ⁡   s e n   w - x 2 w - x 2 lim w → x ⁡ cos ⁡ w + x 2

Repara que no primeiro limite, temos a mesma função dentro do argumento do seno e no denominador, e se a gente calcular o limite w → x dessa função, vemos que ela tende a zero. Podemos dizer então que temos a situação:

lim w → x ⁡  sen  w - x 2 w - x 2 = lim h → 0 ⁡ s e n   h h ,     h = w - x 2

E isso é um limite fundamental:

lim h → 0 ⁡ s e n   h h = 1

Substituindo isso na nossa derivada:

f ' x = 1 ⋅ lim w → x ⁡ cos ⁡ w + x 2 = cos ⁡ x + x 2 = cos ⁡ x

Ou seja:

d d x s e n   x = cos ⁡ x

Chegamos onde queríamos. Uhul!

Resposta

Dedução nos passos

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Encontre f ' ( x ) : f x = - 4 x 2 c o s ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = 5 x 2 + sen ⁡ ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = s e c ⁡ ( x ) 1 + t g x
Encontre f ' ( x ) : f x = sec 2 ⁡ x - t g 2 ( x )
Encontre f ' ( x ) : f x = s e n 2 x + cos 2 ⁡ x