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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 77

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.

lim x → 0 ⁡ e 3 x - 1 x

Passo 1

O que essa questão quer é basicamente que a gente lembre da definição de derivadas a partir de limites, lembra?

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h  

Concorda que o limite da questão se assemelha um pouco com o limite da definição de derivadas? Agora precisamos pensar em uma função f x   e um x 0   tal que:

f x 0 + h =     e 3 x

E

f x 0 = 1

Passo 2

É bem provável que a nossa função desejada seja do tipo e k x , com k   sendo uma constante e o nosso x 0 = 0 , pois e 0 = 1 e isso já garantiria que f x 0 = 1 .

Vamos testar então

f x = e 3 x             ;             x 0 = 0

Então as expressões que interessam a gente são:

f x 0 + h = f 0 + h =     f h = e 3 h

E

f x 0 = f 0 = e 0 = 1

Nosso limite ficaria assim:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h       =       lim h → 0 ⁡     e 3 h - 1 h  

Opaaa percebe que apareceu exatamente o limite que estamos interessados?

Passo 3

Chegamos à conclusão de que o limite pedido nada mais é do que a definição de derivada para a função

f x = e 3 x

No ponto x 0 = 0 .

Derivando nossa função:

f ' x = ( e 3 x ) '

f ' x = 3   e 3 x

Fazendo x = x 0 = 0

f ' x 0 = f ' 0 = 3   e 0 = 3

O valor do limite é:

lim x → 0 ⁡ e 3 x - 1 x = 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ e 3 x - 1 x = 3

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