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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 54

Encontre (d y)/(d x) :

y = x^2 ( a r c s e n (x) )^3

Passo 1

Para solucionar esse problema, devemos usar duas abordagens : A regra do produto e a regra da cadeia.

Observe a nossa função:

y = x^2 ( a r c s e n (x) )^3

Que também pode ser lida como:

y = x^2 ( s e n^(- 1) (x) )^3

Podemos chamar :

f = x^2

f^' = 2 x

g = ( s e n^(- 1) (x) )^3

Para resolver a derivada da função que nomeamos de g , precisaremos usar a regra da cadeia, onde:

f (u) = u^3

(d f ( u ))/(d u) = 3 u^2

u = ( s e n^(- 1) (x) )^3

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, usaremos a fórmula que diz que, e aplicar na regra da cadeia :

(d)/(d x) [se n^(- 1) ( x )] = (1)/(sqrt(1 - x^2)) . (d [ x ])/(d x) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

(d u)/(d x) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

A regra da cadeia diz que:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Substituindo os termos:

(d y)/(d x) = 3 u^2 . (1)/(sqrt(1 - x^2))

Substituindo o valor de u :

g^' = (d y)/(d x) = 3 ( s e n^(- 1) (x) )^2 . (1)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 2

Agora, podemos aplicar na regra do produto, se:

f = x^2

f^' = 2 x

g = ( s e n^(- 1) (x) )^3

g^' = (d y)/(d x) = 3 ( s e n^(- 1) (x) )^2 . (1)/(sqrt(1 - x^2))

A regra do produto diz que:

y^' = f^' g + g ' f

y^' = 2 x . ( s e n^(- 1) (x) )^3 + x^2 [3 ( s e n^(- 1) (x) )^2 . (1)/(sqrt(1 - x^2))]

Resposta

y^' = 2 x . ( s e n^(- 1) (x) )^3 + x^2 [3 ( s e n^(- 1) (x) )^2 . (1)/(sqrt(1 - x^2))]

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