Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 35

Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos.

f x = 2 - cos ⁡ x s e n   x ; π 4 , 3 π 4

Passo 1

Oii tudo bem?

Mais uma de máximo e mínimo aí pra a gente!

Primeiro vamos ver usando um gráfico da função. Eu plotei no Geogebra e deu isso aqui oh:

Vendo esse gráfico a gente conclui que tem um máximo no finalzinho do intervalo, no x = 3 π 4 . o mínimo tá mais difícil, vou chutar um x = π 3 . Vamos ver o valor direitinho agora com as contas...

Passo 2

Vamos derivar a função, aqui a gente tem que usar regra do quociente, não esquece!

f ' x = s e n   x s e n   x - cos ⁡ x ( 2 - cos ⁡ x ) s e n 2 x

f ' x = s e n 2 x - 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x s e n 2 x

Aqui a gente pode usar que s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ...

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x s e n 2 x

A gente precisa dos pontos onde essa derivada é zero. Como o denominador não pode zerar de jeito nenhum, a gente vai ver só da expressão de cima!

Passo 3

A gente faz:

1 - 2 cos ⁡ x = 0

2 cos ⁡ x = 1

cos ⁡ x = 1 2

O ponto onde cosseno é 1 2 no intervalo pedido é x = π 3 . Vamos testar os valores da função nos valores do intervalo e nesse ponto então...

Passo 4

f π 4 = 2 - cos ⁡ π 4 s e n π 4 = 2 - 2 2 2 2 = 4 - 2 2 2 2 = 4 - 2 2 ≅ 1,83

f π 3 = 2 - cos ⁡ π 3 s e n π 3 = 2 - 1 2 3 2 = 3 2 2 3 = 3 3 ≅ 1,73

f 3 π 4 = 2 - cos ⁡ 3 π 4 s e n 3 π 4 ≅ 3,78  

Então... a gente tem um ponto de mínimo em x = π 3 e um ponto de máximo em x = 3 π 4 . Igualzinho o que vimos lá no gráfico (tô boa no chute hein...) 😎

Resposta

Ponto de mínimo: x = π 3

Ponto de máximo: x = 3 π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f w = 3
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f t = 2
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. h x = 2
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = 1
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x